Cho x,y,z là các số thực khác 0 và y2=x.z Chứng minh \(\frac{x^2+y^2}{y^2+z^2}\)=\(\frac{x}{z}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 3 2020
\(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}\Rightarrow x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{z-y}{zy}\)
\(y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\Rightarrow y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}\)
\(z+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{y}\Rightarrow z-x=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x-y}{xy}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\frac{y-z}{zy}\cdot\frac{z-x}{zx}\cdot\frac{x-y}{xy}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\frac{\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x-y\right)}{x^2y^2z^2}\)
\(\Rightarrow x^2y^2z^2\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2y^2z^2-1\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2y^2z^2-1=0\\\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2y^2z^2=1\\x=y=z\end{cases}}\)
HP
30 tháng 1 2017
x+1/y=y+1/z => x-y=1/z-1/y=(y-z)/yz
Tương tự y-z=(z-x)/zx ; z-x=(x-y)/xy
Nhân theo vế các đẳng thức trên ta đc:
(x-y)(y-z)(z-x)=(x-y)(y-z)(z-x)/x2y2z2
=>(x-y)(y-z)(z-x)x2y2z2-(x-y)(y-z)(z-x)=0
=>(x-y)(y-z)(z-x)(x2y2z2-1)=0
=>x-y=0 hoặc y-z=0 hoặc z-x=0 hoặc x2y2z2-1=0
=>x=y=z hoặc x2y2z2=1(đfcm)
NL
1
1 tháng 11 2015
\(x^2=y.z\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\)
tuong tự ta có\(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}=\frac{y}{z}=\frac{x+z+y}{y+x+z}=1\)
=> dpcm
Lile nhá bạn
22 tháng 10 2016
Vì xyz = 1 nên ta có thể đặt \(x=\frac{a^2}{bc};y=\frac{b^2}{ac};z=\frac{c^2}{ab}\left(a,b,c>0,a^2\ne bc,b^2\ne ac,c^2\ne ab\right)\)
Khi đó bất đẳng thức tương đương với
\(\frac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\frac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}+\frac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}\ge1\)
Mà ta có
\(\frac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\frac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}+\frac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2}\)
Ta cần chứng minh
\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
4 tháng 6 2019
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
4 tháng 6 2019
\(gt\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=6\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)thì \(P=a^2+b^2+c^2\)và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)
Giải:
Ta có: \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta được: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Cộng (1), (2) theo vế ta được:
\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=2\cdot6=12\)
\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)
MinP = 3 khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1
Giải :
Từ \(y^2=zx\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{y^2+z^2}=\frac{x^2+xz}{zx+z^2}=\frac{x\left(x+z\right)}{z\left(x+z\right)}=\frac{x}{z}\)
Vậy \(\frac{x^2+y^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{z}\)