Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: $2\left(\frac{1}{a^2} \frac{1}{b^2} \frac{1}{c^2}\right)=\frac{1}{ab} \frac{1}{bc} \frac{1}{ca} \frac{1}{3}$Tìm GTLN của : \(P=\frac{1}{\sqrt{6a^2 3b^2}}...

NA

Nguyễn Anh Minh

25 tháng 3 2017 - olm

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: $2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{3}$Tìm GTLN của : $P=\frac{1}{\sqrt{6a^2+3b^2}}+\frac{1}{\sqrt{6b^2+3c^2}}+\frac{1}{\sqrt{6c^2+3a^2}}$Bài 2: Cho $a\ge1,b\ge2,c\ge3,d\ge4$Tìm GTLN của :$P=\frac{bcd\sqrt{a-1}+acd\sqrt{b-2}+abd\sqrt{c-3}+abc\sqrt{d-4}}{abcd}$Giải được 1 bài cũng được ạ...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

5

ND

Nguyễn Đỗ Quang Anh

25 tháng 3 2017

cff^{333_{vvvvvvffffffdddd}}

Đúng(0)

TN

Thắng Nguyễn

26 tháng 3 2017

Bài 1: Câu hỏi của Neet - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Đúng(0)

PT

pham trung thanh

14 tháng 11 2017 - olm

Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn $7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2015$

Tìm GTLN của $P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}$

#Toán lớp 8

0

IU

Itachi Uchiha

19 tháng 5 2017 - olm

1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:$\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}$2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$Tìm GTLN của P= $\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b}}$3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.Tìm GTLN của Q= $2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4b^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4c^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4a^2+5}}\right)$4,Cho a,b,c>0.Tìm GTLN của...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

5

TN

Thắng Nguyễn

19 tháng 5 2017

ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho

Đúng(0)

F

FL.Hermit

9 tháng 8 2020

gt <=> $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Đặt: $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z$

=> Thay vào thì $VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}$

$VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}$

Có BĐT x, y, z > 0 thì $\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz$Ta thay $xy+yz+zx=1$vào

=> $x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz$

=> Từ đây thì $VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> $a=b=c=\sqrt{3}$

Đúng(0)

TH

Trần Huy Hoàng

20 tháng 5 2019 - olm

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn : $7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2015.$

Tìm $GTLN$ của biểu thức sau: $P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}$

#Toán lớp 9

1

TP

Trần Phúc Khang

20 tháng 5 2019

Ta có:$7\left(\frac{1}{a^2}+...\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+2015$

Mà $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

=> $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le2015$=> $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{6045}$

$P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+...$

Mà $\left(2+1\right)\left(2a^2+b^2\right)\ge\left(2a+b\right)^2$(bất dẳng thức buniacoxki)

=> $P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}$

Lại có $\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$

=> $P\le\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\le\frac{\sqrt{6045}}{3}$

Vậy $MaxP=\frac{\sqrt{6045}}{3}$khi $a=b=c=\frac{\sqrt{6045}}{2015}$

Đúng(0)

PT

pham trung thanh

21 tháng 5 2018 - olm

Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức

$7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+3$

Tìm GTLN của biểu thức:

$A=\frac{1}{\sqrt{a^3+b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3c^3+2}}+\frac{4\sqrt{3}}{c^6+2a^3+9}$

#Toán lớp 8

2

DD

Đinh Đức Hùng

21 tháng 5 2018

$7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+3\ge7\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)$

$\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\le3$Áp dụng BĐT AM-GM ta có :

$A=\frac{1}{\sqrt{a^3+b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3c^3+1+1}}+\frac{4\sqrt{3}}{c^6+1+2a^3+8}$

$\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{4\sqrt{3}}{2c^3+2a^3+8}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+4}$

$=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+1+1+1+1}$

$\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{6\sqrt{ac}}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{1}{\sqrt{3ac}}$$=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}\right)$

$\le\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}\le\sqrt{3}$ (Bunhiacopxki)

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

PS : Thánh cx đc phết ha; chế đc bài này tui mới khâm phục :)))

Đúng(0)

JC

Jonh Capricorn

28 tháng 5 2018

nó ko chém đâu anh nó chép trong toán tuổi thơ đấy,thk này khốn nạn lắm

Đúng(0)

PD

Phạm Đức Dũng

3 tháng 2 2020 - olm

1 . cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=1

Tìm GTLN $P=\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}$

2 . Cho các số thực a , b , c > 0 thỏa mãn a+b+c=3

Chứng minh rằng : $\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3$

#Toán lớp 9

4

NY

Nguyễn Ý Nhi

3 tháng 2 2020

1.Ta có: $c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab$

$=ac+bc+c^2+ab$

$=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)$

$=\left(b+c\right)\left(a+b\right)$

CMTT $a+bc=\left(c+a\right)\left(b+c\right)$

$b+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)$

Từ đó $P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}$

Ta có: $\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)$( theo BĐT AM-GM)

CMTT$\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right)$

$\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.3$

$\Rightarrow P\le\frac{3}{2}$

Dấu"="xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Vậy /...

Đúng(0)

PG

Phan Gia Huy

3 tháng 2 2020

$\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}$

$=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

Tương tự rồi cộng lại:

$RHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}$

$\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3$

Dấu "=" xảy ra tại $a=b=c=1$

Đúng(0)

N

Neet

17 tháng 1 2017

Câu hỏi hay

cho 3 số thực dương a,b,c t/m $2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{3}$

tìm max $P=\frac{1}{\sqrt{6a^2+3b^2}}+\frac{1}{\sqrt{6b^2+3c^2}}+\frac{1}{\sqrt{6c^2+3a^2}}$

Help

#Toán lớp 9

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

18 tháng 1 2017

Lời giải:

Để nhìn biểu thức cho đơn giản, ta đảo $(a,b,c)\mapsto \left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)$

Bài toán trở thành:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ac+\frac{1}{3}$

Tìm max của $P=\sum\frac{ab}{\sqrt{6b^2+3a^2}}$

--------------------------------------------------------------------------------

Áp dụng BĐt Cauchy-Schwarz:

$(6b^2+3a^2)(2+1)\geq (2\sqrt{3}b+\sqrt{3}a)^2$ $\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{6b^2+3a^2}}\leq\frac{ab}{2b+a}$

Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại:

$\Rightarrow P\leq \frac{ab}{2b+a}+\frac{bc}{2c+b}+\frac{ac}{2a+c}$ $(1)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $ab\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\geq \frac{9ab}{2b+a}$

Tương tự... $\Rightarrow \frac{ab}{2b+a}+\frac{bc}{2c+b}+\frac{ac}{2c+a}\leq \frac{a+b+c}{3}$ $(2)$

Mặt khác, ta biết rằng $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$ nên từ đkđb $2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ac+\frac{1}{3}$

$\Rightarrow 2(a+b+c)^2=5(ab+bc+ac)+\frac{1}{3}\leq \frac{5(a+b+c)^2}{3}+\frac{1}{3}$

$\Rightarrow a+b+c\leq 1$ $(3)$

Từ $(1),(2),(3)\Rightarrow P\leq\frac{1}{3}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Đúng(0)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

18 tháng 1 2017

Bài trên bạn đoán được nghiệm là $5$ thì dùng pp liên hợp đơn giản.

$\Leftrightarrow (\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-5=0$

$\Leftrightarrow \frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x-5)(....)=0$

Vế bên trong dấu ngoặc hiển nhiên dương nên $x=5$

Đúng(0)

NQ

Nguyễn Quốc Huy

9 tháng 5 2019 - olm

CHo các số dương a,b,c dương thỏa mã a+b+c=1.tìm gtln của $A=\frac{\sqrt{3a}+2\sqrt{bc}}{1+\sqrt{bc}+3\sqrt{a+bc}}+\frac{\sqrt{3b}+2\sqrt{ca}}{1+\sqrt{ca}+3\sqrt{b+ca}}+\frac{\sqrt{3c}+2\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}+3\sqrt{c+ab}}$

#Toán lớp 9

0

PT

phan tuấn anh

30 tháng 4 2016 - olm

cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn

$7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2015$

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}$

#Toán lớp 9

1

NM

Ngô Mạnh Kiên

1 tháng 5 2016

Đặt $\frac{1}{a}=x>0;\frac{1}{b}=y>0;\frac{1}{c}=z>0$

Từ giả thiết ta có: $7\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\left(xy+yz+zx\right)+2015\le6\left(x^2+y^2+z^2\right)+2015$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le2015$

Ta có: $\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}=\frac{1}{\sqrt{\left(4a^2+b^2\right)+\left(2a^2+2b^2\right)}}\le\frac{1}{\sqrt{4a^2+b^2+4ab}}=\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(2x+y\right)$

Tương tự thì: $\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(2y+z\right)$ và $\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(2z+x\right)$

Cộng từng vế 3 BĐT trên ta có: $\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\frac{x+y+z}{3}\le\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}\le\sqrt{\frac{2015}{3}}$

Vậy max $P=\sqrt{\frac{2015}{3}}$ , đạt được khi $a=b=c=\sqrt{\frac{3}{2015}}$

Đúng(0)

LT

Lê Tài Bảo Châu

25 tháng 10 2020 - olm

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn các điều kiện $\left(a+c\right)\left(b+c\right)=4c^2$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}$Bài 2: Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 và $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của biểu thức $P=x^5+y^5+z^5$Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=1.$Tìm...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

3

KN

Kiệt Nguyễn

25 tháng 10 2020

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: $P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3$Giả sử b là số nằm giữa a và c thì $\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc$$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2$

Ta sẽ chứng minh: $b\left(3-b\right)^2\le4$(*)

Thật vậy: (*)$\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0$(đúng với mọi $b\in[0;3]$)

Từ đó suy ra $\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5$

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

Đúng(0)

KN

Kiệt Nguyễn

26 tháng 10 2020

Bài 1: Đặt $a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)$thì điều kiện giả thiết trở thành $\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4$

Khi đó $P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}$$=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}$

Có: $\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)$

Đặt $t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2$(do t > 0)

Lúc đó $P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}$với $2\le t< 3$

Vậy $MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}$đạt được khi $t=\sqrt{6}$hay (x; y) là nghiệm của hệ $\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}$

Ta lại có $P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1$(do $2\le t< 3$)

Vậy $MaxP=1$đạt được khi t = 2 hay x = y = 1

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP