Cho\(\Delta ABC\)có 3 đường trung trực của AB,AC,BC lần lượt cắt AB,AC,BC tại M,N,P. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp của\(\Delta ABC\)chính là trực tâm\(\Delta MNP\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét tứ giác BFED có
ED//BF
FE//BD
Do đó: BFED là hình bình hành
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DE//AB
Do đó: E là trung điểm của AC
Xét ΔABC có
E là trung điểm của AC
EF//CB
Do đó: F là trung điểm của AB
Xét ΔCDE và ΔEFA có
CD=EF
DE=FA
CE=EA
Do đó: ΔCDE=ΔEFA
b: Gọi ΔABC có F là trung điểm của AB,E là trung điểm của AC
Trên tia FE lấy điểm E sao cho E là trung điểm của FK
Xét tứ giác AFCK có
E là trung điểm của AC
E là trung điểm của FK
Do đó: AFCK là hình bình hành
Suy ra: AF//KC và KC=AF
hay KC//FB và KC=FB
Xét tứ giác BFKC có
KC//FB
KC=FB
Do đó: BFKC là hình bình hành
Suy ra: FE//BC(ĐPCM)
a, Xét ∆ ABC có đg ttrực của AB và AC giao nhau tại O
➡️O là tâm đg tròn ngoại tiếp ∆ ABC
➡️AO là đg ttrực của BC (đpcm)
b, Gọi giao điểm của AO là BC là H.
Xét ∆ ABC cân tại A
➡️AO là đg ttrực đồng thời là đg phân giác
➡️Góc BAO = góc CAO = góc BAC ÷ 2 = 120° ÷ 2 = 60°
Vì O là tâm đg tròn ngoại tiếp ∆ ABC (cmt)
➡️OA = OB = OC
Xét ∆ ABO cân tại O (OA = OB) có góc BAO = 60°
➡️∆ ABO đều
➡️BH là đg cao đồng thời là ttuyến
➡️BH là đg ttuyến của AC
mà E là giao của ttrực AB và ttuyến AO
➡️E là trọng tâm ∆ ABO
C/m tương tự ta có F là trọng tâm ∆ ACO (đpcm)
c, Xét ∆ ABC cân tại A
Góc ABC = góc ACB = (180° - 120°) ÷ 2 = 30°
Gọi OM và ON lần lượt là đg ttrực của AB và AC
Vì AB = AC ➡️AM = BM = AN = CN
Xét ∆ vuông BEM và ∆ CFN có:
Góc M = góc N = 90°
BM = CN (cmt)
Góc ABC = góc ACB (cmt)
➡️∆ vuông BEM = ∆ vuông CFN (ch - gn)
➡️BE = CF ( 2 cạnh t/ư) (1)
ME = NF (2 cạnh t/ư)
Xét ∆ vuông BEM có góc ABC = 30°
➡️Góc BEM = 90° - 30° = 60°
mà góc BEM đối đỉnh với góc OEH
➡️Góc BEM = góc OEH = 60°
Xét ∆ OBE có góc EBO = góc EOB = 60° ÷ 2 = 30°
➡️∆ OBE cân tại E
➡️BE = OE
Ta có: OE + ME = OM
OF + NF = ON
mà OM = ON, ME = NF
➡️OE = OF
Xét ∆ OEF cân tại O (OE = OF) có góc OEH = 60°
➡️∆ OEF đều
➡️OE = EF
mà OE = BE (cmt)
➡️BE = EF (2)
Từ (1) và (2) ➡️BE = EF = CF (đpcm)
Hok tốt~
P/s : ôi mỏi tay quá k mk với~
Ta có: D nằm trên đường trung trực của AB
nên DA=DB
=>ΔDAB cân tại D
=>\(\widehat{ADE}=2\cdot\widehat{B}=60^0\)
Ta có: E nằm trên đường trung trực của AC
nên EA=EC
=>ΔEAC cântại E
=>\(\widehat{AED}=2\cdot\widehat{C}=60^0\)
Xét ΔADE có \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=60^0\)
nên ΔADE đều
Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDC
Gọi d là đường trung trực của BC
ABCD là hình thoi
=> AC là đường trung trực của BD mà M thuộc AC
=> MB=MD (1)
d là đường trung trực của BC mà M thuộc BC
=> MB=MC (2)
Từ (1) và (2)
=> MB=MC=MD
=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác BDC
Chứng minh N là tâm đường tròn của tam giác ABC tương tự
a) Tứ giác ANHM có 3 góc vuông : AMH ; MAN ; ANH nên là hình chữ nhật
b) Hình chữ nhật ANHM có AH cắt MN tại trung điểm mỗi đường nên OA =\(\frac{AH}{2};ON=\frac{MN}{2}\)mà AH = MN nên OA = ON
\(\Rightarrow\Delta OAN\)cân tại O (1)
Ta lại có :\(\Delta ABC,\Delta AHC\)lần lượt vuông tại A,H có\(\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^0\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{OAN}=\widehat{ONA}\)(do 1)
mà\(\widehat{ONA}+\widehat{ONC}=180^0\)(kề bù).Vậy tứ giác BCNM có\(\widehat{B}+\widehat{MNC}=180^0\Rightarrow\widehat{C}+\widehat{BMN}=180^0\)
c)\(\Delta ANM,\Delta ABC\)cùng vuông tại A có\(\widehat{B}=\widehat{MNA}\Rightarrow\Delta ANM~\Delta ABC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AN}{AM}=\frac{AB}{AC}\)=> AM.AB = AN.AC
d)\(\Delta ABC\)vuông tại A có I là trung điểm BC nên trung tuyến AI =\(\frac{BC}{2}\)mà BI =\(\frac{BC}{2}\)nên AI = BI
\(\Rightarrow\Delta ABI\)cân tại I =>\(\widehat{BAI}=\widehat{B}=\widehat{MNA}\)mà\(\Delta AMN\)vuông tại A có\(\widehat{AMN}+\widehat{MNA}=90^0\)
Gọi giao điểm AI và MN là P thì\(\Delta AMP\)có \(\widehat{MAP}+\widehat{AMP}=90^0\)nên\(\Delta AMP\)vuông tại P => AI _|_ MN