Cho x, y, z > 0 . Tìm GTNN của biểu thức :
\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
8 tháng 5 2019
Anh xét hiệu P - 3/2 rồi làm như cách của em: Câu hỏi của Namek kian - Toán lớp 9 ạ ! Từ đó suy ra P >= 3/2. Hoặc có thể làm thẳng luôn như 4 bạn kia.
8 tháng 5 2019
\(P=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1-3\)
\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}-3\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)-3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}-3=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z\)
:))
TT
2
1
26 tháng 3 2017
Ta sẽ chứng minh \(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\left(1\right)\)
Thật vậy (1)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y+z}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y}{z+x}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{z}{x+y}-\frac{1}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{\left(x-y\right)+\left(x-z\right)}{2\left(y+z\right)}\right)+\left(\frac{\left(y-z\right)+\left(y-x\right)}{2\left(z+x\right)}\right)+\left(\frac{\left(z-x\right)+\left(z-y\right)}{2\left(x+y\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\frac{1}{2\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\left(y-z\right)^2\frac{1}{2\left(z+x\right)\left(x+y\right)}+\left(z-x\right)^2\frac{1}{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge0\)(luôn đúng)
=>đpcm
27 tháng 3 2017
Bạn giải thích giùm mình bước cuối mình ko hủi lém cám ơn
JY
1
RD
20 tháng 3 2019
\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+zy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)(cauchy-schwarz)\(\ge\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{2}\)
"="<=>x=y=z
S
10 tháng 6 2019
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(x=y=z=\frac{2}{3}\)
10 tháng 6 2019
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\) ( 1 )
Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ( 2 )
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\) ( 3 )
Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
T
12 tháng 12 2018
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
22 tháng 12 2018
Gọi \(T=...\)
\(T+3=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+1+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+1+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+1\)
\(T+3=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)
\(\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right).\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{9}{2}\)\(\Rightarrow\)\(T\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
...
22 tháng 12 2018
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=a\\\sqrt{y}=b\\\sqrt{z}=c\end{cases}\left(a,b,c>0\right)}\)
Đặt \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow P+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\)
\(P+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\)
\(P+3=\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c+a}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{a+b}\)
\(2\left(P+3\right)=2.\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(2\left(P+3\right)=\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2\left(P+3\right)\ge3.\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3.\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}=9.\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\)
\(\left(\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow P+3\ge4,5\)
\(\Leftrightarrow P\ge1,5\)
\(P=1,5\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy \(P_{min}=1,5\Leftrightarrow x=y=z\)
5 tháng 12 2019
\(Q=\Sigma\frac{x^4}{x^2+\sqrt{xy.zx}}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
đây là cách lớp 9 nên cố hiểu nhá , ngoài ra có thể tham khảo ở sách nâng cao và phát triển toán 8 trang 43
áp dụng BĐT cosi cho 3 số dương ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
với a=y+z, b=z+x, c=x+y ta đc
\(2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+x}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge1,5\)
vậy minA=1,5 khi y+z=x+z=x+y khi x=y=z
\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\)
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)( 1 )
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\ge1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{2}\)
Từ ( 1 )
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(P=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z\)