Cho 3 số thực dương x, y, z thõa mãn: \(x^2\)+ \(y^3+z^4\)=1
Chứng minh rằng : \(x^5+y^6+z^7< 1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
Đề bài chắc chắn là có vấn đề
Thử với \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) thì \(VT=\dfrac{\sqrt{2}}{4}< 2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
Như bạn sửa điều kiện thành \(x^3+y^3+z^3=1\) thì dấu "=" không xảy ra
Việc chứng minh vế trái lớn hơn 2 (một cách tuyệt đối) khá đơn giản:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, sau đó cộng vế
Nhưng đẳng thức không xảy ra.
H
0
NH
0
VD
3
T
5 tháng 8 2016
ĐẶt \(A=x^2+y^2+z^2\Rightarrow4A-12=4\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow3A-12=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2-3\)
\(\Rightarrow3A\ge9\Rightarrow A\ge3\)
dấu= xảy ra khi x=y=z=1
VD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2023
Do \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2< 1\Rightarrow x< 1\)
\(\Rightarrow x^5< x^2\)
Tương tự ta có: \(y< 1\Rightarrow y^6< y^2\); \(z< 1\Rightarrow z^7< z^2\)
\(\Rightarrow x^5+y^6+z^7< x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow x^5+y^6+z^7< 1\)
LT
0
PV
12 tháng 4 2016
Câu 1: xy + x - y = 4
<=> (xy + x) - (y+ 1) = 3
<=> x(y+1) - (y + 1) = 3
<=> (y + 1) (x - 1) = 3
Theo bài ra cần tìm các số nguyên dương x, y => Xét các trường hợp y + 1 nguyên dương và x -1 nguyên dương.
Mà 3 = 1 x 3 => Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:
* TH1: y + 1 = 1; x - 1 = 3 => y = 0; x = 4 (loại vì y = 0)
* TH2: y + 1 = 3; x -1 = 1 => y = 2; x = 2 (t/m)
Vậy x = y = 2.
Câu 2:
Ta có:
(a - b)/x = (b-c)/y = (c-a)/z =(a-b + b -c + c - a) (x + y + z) = 0
Vì x; y; z nguyên dương => a-b =0; b - c = 0; c- a =0 => a = b = c
19 tháng 10 2016
Đặt \(a=\sqrt{\frac{yz}{x}},b=\sqrt{\frac{zx}{y}},c=\sqrt{\frac{xy}{z}}\) \(\Rightarrow ab+bc+ac=1\)
Suy ra bài toán trở về dạng chứng minh \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\le\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+1}+1-\frac{b^2}{b^2+1}+1-\frac{c^2}{c^2+1}\le\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\ge\frac{3}{4}\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}\)
Đặt t = a+b+c \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=t^2-2\)
Ta cần chứng minh \(\frac{t^2}{t^2+1}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow4t^2\ge3t^2+3\Rightarrow t^2\ge3\)(Luôn đúng vì \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)=3\))
Vậy ta có đpcm
ơ lạ ~ vì x;y;z đều là số dương nên x2<x5;y3<y6;z4<z7 cộng lại x2+y3+z4<x5+y6+z7 chứ, sao lại cho cái vế phải nhỏ hơn vế trái vậy???
đề cho là số thực mà