Cho a, b là các số thực a>b>0
Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KK
0
HD
2
3 tháng 12 2019
\(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a\)
Có: \(\hept{\begin{cases}a^2-b^2>0\\2a-b^2>0\\a;b>0\end{cases}\Leftrightarrow a>b>0.}\)
\(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a\)(1)
<=> \(\sqrt{2ab-b^2}>a-\sqrt{a^2-b^2}\)
<=> \(2ab-b^2>a^2-2a\sqrt{a^2-b^2}+a^2-b^2\)
<=> \(b>a-\sqrt{a^2-b^2}\)
<=> \(a-b-\sqrt{a^2-b^2}< 0\)
<=> \(\sqrt{a-b}\left(\sqrt{a-b}-\sqrt{a+b}\right)< 0\)đúng vì \(\sqrt{a-b}-\sqrt{a+b}< 0\)
=> (1) đúng.
T
4 tháng 12 2019
Chia hai vế cho a, bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
\(\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}+\sqrt{2\left(\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{b}{a}\right)^2}>1\)
Đặt \(\frac{b}{a}=x\Rightarrow0< x< 1\). Ta cần chứng minh:
\(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{2x-x^2}>1\)
\(\Leftrightarrow2x-2x^2+2\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(2x-x^2\right)}>0\) (bình phương 2 vế)
\(\Leftrightarrow2x\left(1-x\right)+2\sqrt{x\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(2-x\right)}>0\) (đúng)
Ta có đpcm.
NA
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 8 2020
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của nguyễn minh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
28 tháng 2 2017
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
9 tháng 3 2019
(a^2+b^2)/2>=ab
<=>(a^2+b^2)>=2ab
<=> a^2+2ab+b^2>=2ab
<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)
=> điều phải chứng minh.
KT
9 tháng 3 2019
Xét hiệu: \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xra <=> a = b
Áp dụng ta có:
a) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
dấu "=" xra <=> a = b = c = 1
b) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)
Dấu "=" xra <=> a = b= c = d = 2
20 tháng 9 2016
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(1)
Tương tự : \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)(2) ; \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\) (3)
Cộng (1) , (2) và (3) theo vế ta được \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}\Leftrightarrow}a+b+c=0\) (vô lí vì trái với giả thiết bài ra )
Vậy ta có điều phải chứng minh.
\(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2b^2-b^2}\)
\(=\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{b^2}>\sqrt{a^2-b^2+b^2}=\sqrt{a^2}=a\).