Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện \(\hept{\begin{cases}x\ge2;y\ge9;z\ge1951\\x+y+z=2016\end{cases}}\).Tìm giá trị lớn nhất của xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HN
14 tháng 2 2017
Theo đề bài ta có:\(x+y+z=2016\)
\(\Rightarrow2016-z=x+y\ge2+9=11\)
\(\Rightarrow z\le2016-11=2005\)
Ta lại có: \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(2016-z\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow xyz\le\frac{\left(2016-z\right)^2}{4}.z=\frac{z^3}{4}-1008z^2+\frac{2016^2z}{4}\)(1)
Xét hàm số: \(f\left(z\right)=\frac{z^3}{4}-1008z^2+\frac{2016^2z}{4}\)
Ta chứng minh \(f\left(z\right)\) nghịch biến trên \(z\in\left[1951;2005\right]\)
Với mọi \(a,b\in\left[1951;2005\right]\)sao cho với \(a< b\) thì
\(f\left(a\right)-f\left(b\right)=\frac{a^3}{4}-1008a^2+\frac{2016^2}{4}a-\frac{b^3}{4}+1008b^2-\frac{2016^2}{4}b\)
\(=\frac{1}{4}\left(\left(a^3-b^3\right)+\left(-4032a^2+4032b^2\right)+\left(2016^2a-2016^2b\right)\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2-4032a-4032b+2016^2\right)\)
\(>\frac{a-b}{4}.\left(1951^2+1951.1951+1951^2-4032.2005-4032.2005+2016^2\right)\)
\(=\frac{a-b}{4}.\left(-684861\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)-f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow\)Hàm số nghịch biến trên \(\left[1951;2005\right]\)
\(\Rightarrow\)Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại z nhỏ nhất
\(\Rightarrow Max\left(f\left(z\right)\right)=\frac{1951^3}{4}-1008.1951^2+\frac{2016^4}{4}.1951=2060743,75\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: \(Max\left(xyz\right)=2060743,75\) tại \(\left\{\begin{matrix}x=y=32,5\\z=1951\end{matrix}\right.\)
NN
14 tháng 2 2017
Cảm ơn bạn, nhưng trong phòng thi ko đc xài máy tính, thì phần tính toán cũng mệt nhỉ :v
23 tháng 9 2018
\(P=\frac{1}{xy-xyz-z}+\frac{1}{yz-xyz-x}+\frac{1}{xz-xzy-y}\) .Do xyz=-z =>-xyz=1 và x+y+z=0 . Thế vào P ta được \(P=\frac{1}{xy+1+x+y}+\frac{1}{yz+1+y+z}+\frac{1}{xz+1+x+z}\)\(P=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}\) =\(\frac{z+1+x+1+y+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(P=\frac{3}{xyz+z+xz+yz+xy+1+x+y}\) =\(\frac{3}{xy+yz+xz}\) (Do x+y+z=0; xyz=-1)
x+y+z=0 => (x+y+z)2=0 => x2+y2+z2 +2(xy+yz+xz)=0 => 2(xy+yz+xz)=-6 => xy+yz+xz=-3 Thế vào P ta được :
\(P=\frac{3}{-3}=-1\) . Chúc bạn học tốt
BT
1 tháng 11 2016
Lần lượt trừ hai vế của hệ phương trình ta có : \(x^3-y^3=3\left(x-y\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+xy=3\) ( Do \(x\ne y\)).
Làm tương tự như vậy ta có hệ sau : \(\hept{\begin{cases}x^2+xy+y^2=3\\x^2+xz+z^2=3\\y^2+yz+z^2=3\end{cases}}\) (1)
Làm tương tự như trên, trừ lần lượt từng vế phương trình ta có:
\(x^2+xy+y^2-\left(x^2+xz+z^2\right)=3-3\)
\(\Leftrightarrow xy-xz+y^2-z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-z\right)\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\)( do \(x\ne y\))
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=0\).
Cộng lần lượt từng vế của 3 phương trình ta được : \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)+xy+xz+yz=9\).
Đặt \(a=x^2+y^2+z^2,b=xy+zy+zx\) ta có hệ sau:
\(\hept{\begin{cases}a+2b=0\\2a+b=9\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=-3\end{cases}}}\)
Vậy \(x^2+y^2+z^2=6.\)
16 tháng 7 2020
Sai đề nhá, đáng lẽ \(0\le x,y,z\le1\)
Ta dễ có:
\(1+y+zx\le x^2+xy+xz\Rightarrow\frac{x}{1+y+zx}\ge\frac{x}{x^2+xy+xz}=\frac{1}{x+y+z}\)
Tương tự:
\(\frac{y}{1+z+xy}\ge\frac{1}{x+y+z};\frac{z}{1+z+yz}\ge\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+z+yz}\ge\frac{3}{x+y+z}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1
26 tháng 5 2021
M giải luôn nha
\(\frac{1}{2}=\frac{x^2}{\left(y+1^2\right)}+\)\(\frac{y^2}{\left(x+1\right)^2}\) \(\ge\frac{2xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow3xy\le x+y+1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{\left(y+1\right)^2}=\frac{y^2}{\left(x+1\right)^2}\\3xy=x+y+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\3x^2-2x-1=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=1\left(tm\right)\\x=y=-\frac{1}{3}\left(tm\right)\end{cases}}\)
Vậy ( x ; y ) ......
3 tháng 10 2018
Ta có: 3xy=x+y+1
\(\Leftrightarrow4xy=xy+x+y+1\)
\(\Leftrightarrow4xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
Lai có:\(\frac{x^2}{\left(y+1\right)^2}+\frac{y^2}{\left(x+1\right)^2}-\frac{1}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{\left(y+1\right)^2}+\frac{y^2}{\left(x+1\right)^2}-\frac{2xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y+1}-\frac{y}{x+1}\right)^2=0\)
5 tháng 10 2018
giải tiếp hộ t với. sao t tìm ra 4 nghiệm nhưng thử lại chỉ 2 cái đc
25 tháng 2 2022
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=25\\xy=12\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2-2xy=25\\xy=12\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2-2.12=25\\xy=12\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2=49\\xy=12\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=\pm7\\xy=12\end{cases}}\)(*)
+) Xét trường hợp \(x+y=7\), khi đó (*) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=7\\xy=12\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=7-x\\x\left(7-x\right)=12\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=7-x\\x^2-7x+12=0\left(\cdot\right)\end{cases}}\)
Giải \(\left(\cdot\right)\), ta có \(x^2-7x+12=0\)\(\Leftrightarrow x^2-3x-4x+12=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x-3\right)-4\left(x-3\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=4\end{cases}}\)
Khi \(x=3\)thì \(y=7-x=7-3=4\)
Khi \(x=4\)thì \(y=7-x=7-4=3\)
Vậy ta tìm được 2 cặp số (x;y) là \(\left(3;4\right)\)và \(\left(4;3\right)\)
+) Xét trường hợp \(x+y=-7\), khi đó (*) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=-7\\xy=12\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=-7-x\\xy=12\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=7-x\\x\left(-7-x\right)=12\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=7-x\\x^2+7x+12=0\left(#\right)\end{cases}}\)
Giải \(\left(#\right)\), ta có \(x^2+7x+12=0\)\(\Leftrightarrow x^2+3x+4x+12=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x+3\right)+4\left(x+3\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x+4\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=-4\end{cases}}\)
Khi \(x=-3\)thì \(y=-7-x=-7-\left(-3\right)=-4\)
Khi \(x=-4\)thì \(y=-7-x=-7-\left(-4\right)=-3\)
Vậy ta tìm được 2 cặp số (x;y) là \(\left(-3;-4\right)\)và \(\left(-4;-3\right)\)
Như vậy ta tìm được 4 cặp giá trị (x;y) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(\left(3;4\right);\left(4;3\right);\left(-3;-4\right)\)và \(\left(-4;-3\right)\)
25 tháng 5 2018
(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)
→ x²+y²+z²=(1/2)²-2.(-2)=17/4
(x+y+z)³=x³+y³+z³+3(x+y)(y+z)(z+x)
=x³+y³+z³+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz
→ x³+y³+z³=(1/2)³+3.(-1/2)-3.1/2.(-2)=13/8
(xy+yz+zx)²=x²y²+y²z²+z²x²+2xyz(x+y+z)
→ x²y²+y²z²+z²x²=(-2)²-2.1/2.(-1/2)=9/2
(x²+y²+z²)(x³+y³+z³)=x^5+y^5+z^5+(x²y²+y²z²+z²x²)(x+y+z)-xyz(xy+yz+zx)
→ x^5+y^5+z^5=17/4.13/8+(-2).(-1/2)-9/2.1/2=181/32
Bạn tìm được GTLN bài này không:
Với \(1951\le x\le2005\)
Tìm GTLN của: \(\frac{x^3}{4}-1008x^2+\frac{2016^2x}{4}\)
bài liên quan tới câu trên hả bạn.Để mình cố tìm xem sao