Xét số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\dfrac{x^2+1}{8}+\dfrac{2}{\sqrt{x^2+1}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 1 2022
a: \(P=\left(\dfrac{2+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
b: Để P nguyên thì \(\sqrt{x}+1⋮\sqrt{x}-1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1\in\left\{-1;1;2\right\}\)
hay \(x\in\left\{0;4;9\right\}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
\(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{4y}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{x+4y}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)
30 tháng 8 2021
a: Ta có: \(N=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)
\(=x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\)
\(=x-\sqrt{x}+1\)
HP
21 tháng 8 2021
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(P=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\)
\(=\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)+\dfrac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)-4\left(x+y\right)+8\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}+2\sqrt{\dfrac{y^2}{x-1}.4\left(x-1\right)}-4\left(x+y\right)+8\)
\(\ge4\left(x+y\right)-4\left(x+y\right)+8=8\)
\(\Rightarrow P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge4x\) ; \(\dfrac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)
Cộng vế:
\(P+4\left(x+y\right)-8\ge4\left(x+y\right)\Rightarrow P\ge8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
1) Cho biểu thức A =
7 tháng 9 2021
Bài 5:
a: Thay \(x=4+2\sqrt{3}\) vào E, ta được:
\(E=\dfrac{\sqrt{3}+1-1}{\sqrt{3}+1-3}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=-3-2\sqrt{3}\)
b: Để E<1 thì E-1<0
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3< 0\)
hay x<9
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x< 9\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
c: Để E nguyên thì \(4⋮\sqrt{x}-3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{-2;1;2;4\right\}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{4;5;7\right\}\)
hay \(x\in\left\{16;25;49\right\}\)
NT
7 tháng 9 2021
Câu 2:
a) Ta có \(x=4-2\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}=\sqrt{3}-2\)
Thay \(x=\sqrt{3}-1\) vào \(B\), ta được
\(B=\dfrac{\sqrt{3}-1-2}{\sqrt{3}-1+1}=\dfrac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}=1-\sqrt{3}\)
b) Để \(B\) âm thì \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< 0\) mà \(\sqrt{x}+1\ge1>0\forall x\) \(\Rightarrow\sqrt{x}-2< 0\Rightarrow\sqrt{x}< 2\Rightarrow x< 4\)
c) Ta có \(B=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)
Với mọi \(x\ge0\) thì \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\Rightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\le3\Rightarrow B=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\ge-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}+1=1\Leftrightarrow x=0\)
Vậy \(B_{min}=-2\) khi \(x=0\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 11 2023
Lời giải:
a.
\(A=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^3}-1)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}+\frac{2(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1}-(2\sqrt{x}+1)+2(\sqrt{x}+1)\)
\(=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\\ =x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\\ =x-\sqrt{x}+1\)
b.
$A=x-\sqrt{x}+1=(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4})+\frac{3}{4}$
$=(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq 0+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow A_{\min}=\frac{3}{4}$
Giá trị này đạt tại $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$
Y
19 tháng 6 2023
\(A=P:Q=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}:\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+4}=1+\dfrac{-5}{\sqrt{x}+4}\)
Điều kiện : \(x\ge4\Rightarrow\sqrt{x}+4\ge4\Rightarrow-\dfrac{5}{\sqrt{x}+4}\le-\dfrac{5}{4}\Rightarrow\dfrac{5}{\sqrt{x}+4}\ge\dfrac{5}{4}\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)
Vậy \(min_A=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow x=0\)
\(P=\dfrac{x^2+1}{8}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2+1}{8\left(x^2+1\right)}}=\dfrac{3}{2}\)
\(P_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=\pm\sqrt{3}\)