a) cho a\(\ge\)3.Tìm min\(P=a+\frac{1}{a}\)
b) cho a\(\ge\)2. Tìm min \(S=a+\frac{1}{a^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 8 2020
1.
\(P=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{5x}{2}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}+\frac{5}{2}.1=\frac{7}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
2.
\(P=\frac{a}{100}+\frac{1}{a}+\frac{b}{10000}+\frac{1}{b}+\frac{c}{1000^2}+\frac{1}{c}+\frac{99}{100}a+\frac{9999}{10000}b+\frac{999999}{1000000}c\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{a}{100a}}+2\sqrt{\frac{b}{10000b}}+2\sqrt{\frac{c}{1000000c}}+\frac{99}{100}.10+\frac{9999}{10000}.100+\frac{999999}{1000000}.1000=...\)
Bạn tự bấm máy tính
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=10\\b=100\\c=1000\end{matrix}\right.\)
3.
\(VT=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{8ab}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}+\frac{8ab}{\left(a+b\right)^2}\ge2\sqrt{\frac{8ab\left(a+b\right)^2}{2ab\left(a+b\right)^2}}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
TT
0
OM
25 tháng 5 2017
1.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương ta có:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
tương tự, ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ac}{b}}=2a\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\) (ĐPCM)
ý b nghĩ đã ~.~
OM
25 tháng 5 2017
2.
P = \(\frac{x^2}{2-x}+\frac{y^2}{2-y}+\frac{z^2}{2-z}\)
Sau đó áp dụng bất đẳng thức AM - GM như trên nhé bạn!
6 tháng 5 2022
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
9 tháng 9 2017
1,
\(A=1+a+\frac{1}{b}+\frac{a}{b}+1+b+\frac{1}{a}+\frac{b}{a}\)
\(\ge1+1+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+a+b+\frac{a+b}{ab}=4+a+b+\frac{4\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^2}=4+a+b+\frac{4}{a+b}\)
lại có \(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
\(4+a+b+\frac{4}{a+b}=4+\left(a+b+\frac{2}{a+b}\right)+\frac{2}{a+b}\ge4+2\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\ge4+3\sqrt{2}\)
9 tháng 9 2017
câu 2
ta có:\(\left(2b^2+a^2\right)\left(2+1\right)\ge\left(2b+a\right)^2\Rightarrow3c\ge a+2b\)
\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\left(Q.E.D\right)\)
a) giả sử \(x\ge y\ge3\)
P(x)=x+1/x
P(y)=y+1/y
P(x)-p(y)=(x+1/x)-(y+1/y)=(x-y)+(1/x-1/y)=A
\(x\ge y\ge3\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\hept{\begin{cases}x-y\le0\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\le0\end{cases}\Rightarrow A\le0}\)
Kết luận a cành lớn thì P(a) càng lớn
=> Pmin=P(3)=3+1/3=10/3
Ok ta cần chứng minh A>=0
\(A=\left(x-y\right)+\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=\left(x-y\right)+\frac{\left(y-x\right)}{xy}=\left(x-y\right)-\frac{\left(x-y\right)}{xy}\\ \)
\(A=\left(x-y\right)\left[1-\frac{1}{xy}\right]\)
\(x\ge y\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y\ge0\\xy\ge9\\\frac{1}{xy}\le\frac{1}{9}< 1\Rightarrow1-\frac{1}{xy}>0\end{cases}}\Rightarrow A\ge0\)