Tính giá trị biểu thức sau :\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 7 2016
Xét : Với mọi \(x\in N^{\text{*}}\) , ta có : \(\frac{1}{\left(x+1\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{x\left(x+1\right)}\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x\left(x+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\)
Áp dụng vào tính : \(M=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)
8 tháng 2 2018
\(B=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}+...+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\)
\(=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-...-\sqrt{99}+\sqrt{100}\)
\(=\sqrt{100}-1\)
\(=10-1\)
\(=9\)
Vì 9 chia hết cho 1; 3; 9 nên ko thể là số nguyên tố mà là hợp số.
=> ĐPCM
21 tháng 7 2017
Ta có \(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}\Rightarrow A^2=1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}=\frac{a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2+a^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)
\(=\frac{a^2\left(a^2+2a+1+1\right)+\left(a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}=\frac{a^4+2a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)
= \(\frac{\left(a^2+a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}=\left[\frac{a^2+a+1}{a\left(a+1\right)}\right]^2\Rightarrow A=\frac{a^2+a+1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a\left(a+1\right)}\)
= \(1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)
rồi bạn thay vào tổng trên là xong
6 tháng 8 2017
Với mọi n thuộc N ta có :
\(\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}+\frac{2}{n}-\frac{2}{n\left(n+1\right)}-\frac{2}{\left(n+1\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)^2}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
Áp dụng ta được :
\(S=\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+....+\left(1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)
\(=98+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)
\(=98+\frac{1}{2}-\frac{1}{100}=\frac{9849}{100}\)
16 tháng 7 2016
Ta xét biểu thức sau :
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left[\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2\right]}\)
\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)(với n > 0)
Áp dụng : \(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+...+\left(\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\right)\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)
TZ
31 tháng 3 2019
A = \(\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
= \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1\)
HT
16 tháng 6 2019
\(B=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}\)
\(B=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=-1+\sqrt{100}=10-1=9\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 6 2019
Lời giải:
\(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}}=\sqrt{1+2.\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}-\frac{2}{a}}\)
\(=\sqrt{(1+\frac{1}{a})^2+\frac{1}{(a+1)^2}-\frac{2}{a}}=\sqrt{\frac{(a+1)^2}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}-2.\frac{a+1}{a}.\frac{1}{a+1}}\)
\(=\sqrt{(\frac{a+1}{a}-\frac{1}{a+1})^2}=|\frac{a+1}{a}-\frac{1}{a+1}|=|1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}|\)
b)
Áp dụng công thức trên vào bài toán:
\(B=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+....+\sqrt{1+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}}\)
\(=|1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}|+|1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|+....+|1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}|\)
\(=99+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100})\)
\(=99+1-\frac{1}{100}=100-\frac{1}{100}\)
Y
17 tháng 6 2019
Sai đề nha bn \(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}\)
\(A=\sqrt{\frac{a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2+a^2}{a^2\left(a+1\right)^2}}\)\(=\sqrt{\frac{a^2\left(a+1\right)^2+2a^2+2a+1}{a^2\left(a+1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left[a\left(a+1\right)^2\right]+2a\left(a+1\right)+1}{a^2\left(a+1\right)^2}}\) \(=\sqrt{\frac{\left[a\left(a+1\right)+1\right]^2}{a^2\left(a+1\right)^2}}\)
\(=\frac{a\left(a+1\right)+1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)
Áp dụng kết quả trên ta có :
\(B=1+1-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=99+1-\frac{1}{100}=\frac{9999}{100}\)
4 tháng 5 2016
Với mọi \(k\ge2\) thì \(\frac{2k+\sqrt{k^2-1}}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}}=\frac{\left[\left(\sqrt{k-1}\right)^2+\left(\sqrt{k+1}\right)^2+\sqrt{\left(k-1\right)\left(k+1\right)}\right]\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\right)}{\left(\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(k+1\right)^3}-\sqrt{\left(k-1\right)^3}}{2}\)
Suy ra tổng đã cho có thể viết là :
\(A=\frac{1}{2}\left[\sqrt{3^3}-\sqrt{1^3}+\sqrt{4^3}-\sqrt{2^3}+\sqrt{5^3}-\sqrt{3^3}+\sqrt{6^3}-\sqrt{4^3}+...+\sqrt{101^3}-\sqrt{99^3}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[-1-\sqrt{2^3}+\sqrt{101^3}+\sqrt{100^3}\right]\)
\(=\frac{999+\sqrt{101^3}-\sqrt{8}}{2}\)