Có a,b,c>0.Chứng minh a/2a+b+c+b/2b+c+a+c/2c+b+a≤3/4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
4
NY
26 tháng 8 2020
Ta có :
\(a^2b+b^2c+c^2a\ge\frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(1+2a^2b^2c^2\right)\ge9a^2b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^{3v}+2a^3b^2c^4\ge3a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\)(*)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2b+a^4b^3c^2+a^3b^2c^4\ge3\sqrt[3]{a^9b^6c^6}=3a^3b^2c^2\)
\(b^2c+a^2b^4c^3+a^4b^3c^2\ge3a^2b^3c^2\)
\(c^2a+a^3b^2c^4+a^2b^4c^4\ge3a^2b^2c^3\)
Cộng theo vế
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^3+2a^3b^2c^4\ge3a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\)
Vậy $(*)$ đúng
Do đó ta có đpcm
#Cừu
DD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 4 2020
\(VT=\frac{a}{a+b+a+c}+\frac{b}{a+b+b+c}+\frac{c}{a+c+b+c}\)
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NL
0
NH
3
30 tháng 4 2020
Ta có:
\(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(\frac{b}{a+2b+c}=\frac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\le\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\frac{c}{a+b+2c}=\frac{c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\le\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Cộng vế theo vế:
=> \(\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
30 tháng 4 2020
Cách 1:
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh
\(1-\frac{a}{2b+b+c}+1-\frac{b}{a+2b+c}+1-\frac{c}{a+b+2c}\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2a+b+c}+\frac{a+b+c}{a+2b+c}+\frac{a+b+c}{a+b+2c}\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\ge9\)
Đặt x=2a+b+c; y=a+2b+c; z=a+b+2c => x+y+z=4(a+b+c)
Khi đó đẳng thức trên trở thành
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}-2\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(y-z\right)^2}{2yz}+\frac{\left(z-x\right)^2}{2xz}\ge0\)
BĐT cuối luôn đúng
Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Cách 2:
Đặt x=2a+b+c; y=a+2b+c; z=a+b+2c
=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{2x-y-z}{4}\\b=\frac{3y-x-z}{4}\\c=\frac{3z-x-y}{4}\end{cases}}\)
BĐT cần chứng minh được viết lại thành
\(\frac{3x-y-z}{4x}+\frac{3y-x-z}{4y}+\frac{3z-x-z}{4z}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{z}{x}\right)\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{z}{x}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}-2\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(y-z\right)^2}{2yz}+\frac{\left(z-x\right)^2}{2zx}\ge0\)
BĐT cuối luôn đúng
Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" <=> a=b=c
NL
2
TN
2 tháng 10 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{4}{2a+b+c}=\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{4}{2b+c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(;\frac{4}{2c+a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\frac{1}{4}\left(4a+4b+4c\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
KH
9 tháng 5 2019
Cho \(a=b=c\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}\right)\ge1+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\ge1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow2\ge2\) ( Đúng)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\right)\ge1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)
16 tháng 6 2016
bạn sử dụng BĐT tam giác :
a < b + c => a2 < b2 + c2
b < a + c => b2 < a2 + c2
c < a + b => c2 < a2 + b2
bạn tự làm nhé vì mik làm bạn cũng ko chọn mik
TN
16 tháng 6 2016
Ta có:A = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 - 2a2c2 = (a2)2 + (b2)2 + (c2)2 + 2a2b2 - 2b2c2 - 2a2c2 +
4a2b2 = (a2+b2-c2)2-4a2b2
=(a2+b2-c2-2ab)(a2+b2-c2+2ab) (1)
Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên c>|a-b| =>c2>(|a-b|)2=(a-b)2
=>c2>a2+b2-2ab =>a2+b2-c2-2ab<0 (2)
lại có a+b>c =>(a+b)2>c2 =>a2+b2-c2 +2ab > 0 (3)
Từ (1)(2)(3) =>A<0 (Đpcm)
Ta có BĐT \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) (c/m: Câu hỏi của tran duy anh)
\(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{4}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c