cho x+y+z=0. chứng minh rằng 10(x7+y7+z7) = 7(x2+y2+z2)(x5+y5+z5)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 6 2021
Lời giải:
$x^5+y^5+z^5=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-[x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)]$
Mà:
$x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3$
$=(-z)^3-3xy(-z)+z^3=3xyz$
Và:
\(x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)\)
\(=x^2y^2(x+y)+y^2z^2(y+z)+z^2x^2(z+x)=-x^2y^2z-y^2z^2x-x^2y^2z\)
\(=-xyz(xy+yz+xz)=-xyz[\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}]=\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
Do đó: \(x^5+y^5+z^5=3xyz(x^2+y^2+z^2)-\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{5xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)\)
Ta có đpcm.
28 tháng 8 2021
x + y + z = 0 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 = 3 x y z ⇒ ( x 3 + y 3 + z 3 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ x 5 + y 5 + z 5 + x 2 y 2 ( x + y ) + y 2 z 2 ( y + z ) + z 2 x 2 ( z + x ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ x 5 + y 5 + z 5 − x y z ( x y + y x + z x ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ 2 ( x 5 + y 5 + z 5 ) = 5 x y z ( x 2 + y 2 + z 2)
NM
2
16 tháng 5 2023
Vẫn đề đó hả em
Câu này dùng BĐT Schur là ra luôn cx đc, nhưng mà thế thì hơi mất hứng, anh thử đề xuất phương án này ha
VT=\(cyc\sum x^5.\left(x-y+z\right)\) Gấp đôi vế trái lên và phá ngoặc ra nhóm về kiểu này
2.VT=(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6)+.......tương tự như thế ha
Giờ chỉ cần mỗi cái ngoặc này >=0 là cả lũ >=0 do tương tự
Mà \(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6=\left(x^2+y^2\right).\left(x^2-xy-y^2\right)^2\) (Cái này em nhóm 2 cái cuối, 2 cái giữa xong triển khai ra là đc)
Dễ thấy x^2+y^2>=0, cái ngoặc kia là bình phương cũng >=0
Do đó cái TH kia >=0. Các th còn lại thì cx tương tự
Cộng vế với vế suy ra 2VT>=0, Hay VT>=0 (đpcm)
16 tháng 5 2023
Anh gửi riêng phần phân tích này
\(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6=\left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)-2xy\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)=\left(x^2+y^2\right).\left(x^4-x^2y^2+y^4-2xy\left(x^2-y^2\right)\right)=\left(x^2+y^2\right)\left(\left(x^4-2x^2y^2+y^4\right)-2xy\left(x^2-y^2\right)+x^2y^2\right)\)Viết tiếp cái ngoặc to thành bình phương là ra cái anh vt chỗ trên đầu nhé
Thử xem có đc ko
NT
0
NT
0
NT
0
20 tháng 2 2021
Theo đề bài ta có:
;
cân bằng phương trình bằng cách nhân x vào cả hai vế ta có:
cân bằng phương trình bằng cách nhân y vào cả hai vế ta có:
cân bằng phương trình bằng cách nhân z vào cả hai vế ta có:
vì
Vì Có cùng số mũ và bằng nhau
Nên các cơ số cũng bằng nhau
20 tháng 2 2021
Ta có: \(x^2=y\cdot z\)
nên \(z=\dfrac{x^2}{y}\)(1)
Ta có: \(y^2=z\cdot x\)
nên \(z=\dfrac{y^2}{x}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{x^2}{y}=\dfrac{y^2}{x}\)
\(\Leftrightarrow x^3=y^3\)
hay x=y(3)
Ta có: \(x^2=y\cdot z\)
nên \(y=\dfrac{x^2}{z}\)(4)
Ta có: \(z^2=x\cdot y\)
nên \(y=\dfrac{z^2}{x}\)(5)
Từ (4) và (5) suy ra \(\dfrac{x^2}{z}=\dfrac{z^2}{x}\)
\(\Leftrightarrow x^3=z^3\)
hay x=z(6)
Từ (3) và (6) suy ra x=y=z(đpcm)
từ x+y+z=0 => x=-(x+y)
\(x^5+y^5+z^5=x^5+y^5-\left(x+y\right)^5=x^5-x^5+y^5-y^5-5\left(x^4y+2x^3y^2+2x^2y^3+xy^4\right)\)
\(=-5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)=-5xy\left[\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\left(x+y\right)\right]\)
\(=-5xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)(1)
\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+\left[-\left(x+y\right)^2\right]=x^2+y^2+\left(x+y\right)^2=2\left(x^2+y^2+xy\right)\)(2)
\(x^7+y^7+z^7=x^7+y^7-\left(x+y\right)^7=-7xy\left(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5\right)\)
\(=-7xy\left(x+y\right)\left(x^2+y^2+xy\right)\)(đoạn này tách như chỗ mũ 5 sẽ ra) (3)
nhân 10 với (3) và 7 với (1)(2) sẽ ra 2 vế = nhau của điều phải chứng minh.
đây là các phương trình bậc cao, em lên gg gõ bảng Paxcan sẽ ra nha! có qui luật, sắp thi HSG đúng k? ráng học thuộc để áp dụng nha! chúc em học tốt