Cho m,n là 2 số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh
\(mn-m-n+1\) chia hết 192
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HH
4
1 tháng 5 2021
m=(2k+1)2;n=(2k+3)2m=(2k+1)2;n=(2k+3)2 (k thuộc N)
⇒mn−m−n+1=(2k+1)2.(2k+3)2−(2k+1)2−(2k+3)2+1=16k(k+2)(k+1)⇒mn−m−n+1=(2k+1)2.(2k+3)2−(2k+1)2−(2k+3)2+1=16k(k+2)(k+1)
Do k;k+1;k+2k;k+1;k+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3
⇒16k(k+2)(k+1)2⋮3⇒16k(k+2)(k+1)2⋮3
+ k chẵn ⇒k(k+2)⋮4⇒k(k+2)⋮4
+k lẻ ⇒(k+1)2⋮4⇒(k+1)2⋮4
⇒16k(k+2)(k+1)2⋮64⇒16k(k+2)(k+1)2⋮64
mn−m−n+1⋮192
KA
1
4 tháng 7 2017
mn - m - n + 1
= m[n - 1] - [n - 1]
= [n - 1][m - 1]
Vì m,n là hai số cp lẻ liên tiếp, ta có:
m = [2x-1]2 = 4x2 - 4x + 1
n = [2x+1]2 = 4x2 + 4x + 1
=> [m-1][n-1] = 4x[x - 1].4x[x+1]
= [x-1]x[x+1].4.4.x
= x[x - 1]. x[x+1].4.4
Vì [x-1]x[x+1] là tích ba số liên tiếp nên chia hết cho 3
=> [n-1][m-1] chia hết cho 3
Lại có:
x[x - 1] và x[x+1] chia hết cho 2 [là tích hai số liên tiếp]
=> [m-1][n-1] chia hết cho 4*2*4*2 = 64 [hai thừa số 4 và hai thừa số chia hết cho 2]
Mà 3,64 nguyên tố cùng nhau
=> [m-1][n-1] chia hết cho 3.64 = 192
Vậy mn-m-n + 1 chia hết cho 192 khi mn, là 2 số cp lẻ liên tiếp
NT
2
19 tháng 6 2015
Câu này trong đề thi HSG toán 9 quận 9 tp HCM 2005-2006.
Đề : m,n là 2 số chính phương lẻ liên tiếp
Đặt m = (2k + 1)^2 => n = (2k + 3)^2
Ta có
A = mn - m - n + 1
=(m - 1)(n - 1)
= [(2k + 1)^2 - 1][(2k + 3)^2 - 1]
= [2k(2k + 2)].[(2k + 2)(2k + 4)]
= 16k(k + 1)(k + 1)(k + 2)
k(k + 1) chia hết cho 2
(k + 1)(k + 2) chia hết cho 2
=> A chia hết cho 16.2.2 = 64 (1)
Mà k(k + 1)(k + 2) chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 (2)
Từ (1)(2) => A chia hết cho BCNN(3,64) => A chia hết cho 192
17 tháng 6 2015
m; n là 2 số chính phương lẻ liên tiếp nên gọi m = (2k + 1)2 ; n = (2k+3)2
=> A = mn - m - n + 1 = (2k + 1)2. (2k +3)2 - (2k +1)2 - (2k +3)2 + 1
= (2k + 1)2 . [(2k +3)2 - 1] - [ (2k +3)2 - 1] = [(2k +1)2 - 1]. [(2k +3)2 - 1] = (2k + 1 - 1).(2k + 1 +1)(2k +3 + 1).(2k +3 -1)
= 2k.(2k +2).(2k +4).(2k +2) = 16.k.(k+1)2.(k+2)
+) Vì k; k+1; k+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp => k(k+1).(k+2) chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3
+) Chứng minh A chia hết cho 64:
Nếu k chẵn => k và k+ 2 chẵn => A chia hết cho 16.4 = 64
Nếu k lẻ => k+ 1 chẵn => (k+1)2 chia hết cho 4 => A chia hết cho 64
Vậy A chia hết cho BCNN (3; 64) = 192
1 tháng 3 2015
Xin lỗi Lê Thị Thanh Hoa, đây là toán chững minh chứ không phải dạng tìm x.
12 tháng 11 2016
Đặt n = 2k , ta có ( đk k >= 1 do n là một số chẵn lớn hơn 4)
\(\left(2k\right)^4-4\times\left(2k\right)^3-4\times\left(2k\right)^2+16\times2k\)
\(=16k^4-32k^3-16k^2+32k\)
\(=16k^2\left(k^2-1\right)-32k\left(k^2-1\right)\)
\(=16k\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)-32\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)
Nhận xét \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên
\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) chia hết cho 3
Suy ra điều cần chứng minh
23 tháng 11 2016
câu 1:
a, giả sử 2 số chẵn liên tiếp là 2k và (2k+2) ta có:
2k(2k+2) = 4k2+4k = 4k(k+1) chia hết cho 8 vì 4k chia hết cho 4, k(k+1) chia hết cho 2
b, giả sử 3 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2 với mọi a thuộc Z
- a,a+1,a+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại duy nhất một số chẵn hoặc có 2 số chẵn nên tích của chúng sẽ chia hết cho 2.
mặt khác vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3.
vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
c, giả sử 5 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2, a+3,a+4 với mọi a thuộc Z
- vì là 5 số nguyên liên tiếp nên sẽ tồn tại 2 số chẵn liên tiếp nên theo ý a tích của chúng choa hết cho 8.
- tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.
- tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.
câu 2:
a, a3 + 11a = a[(a2 - 1)+12] = (a - 1)a(a+1) + 12a
- (a - 1)a(a+1) chia hết cho 6 ( theo ý b câu 1)
- 12a chia hết cho 6.
vậy a3 + 11a chia hết cho 6.
b, ta có a3 - a = a(a2 - 1) = (a-1)a(a+1) chia hết cho 3 (1)
mn(m2-n2) = m3n - mn3 = m3n - mn + mn - mn3 = n( m3 - m) - m(n3 -n)
theo (1) mn(m2-n2) chia hết cho 3.
c, ta có: a(a+1)(2a+10 = a(a+1)(a -1+ a +2) = [a(a+1)(a - 1) + a(a+1)(a+2)] chia hết cho 6.( théo ý b bài 1)
PG
0
Giả sử n < m => n = (2k + 1)2, m = (2k + 3)2
Ta có: mn - m - n + 1 = (mn - m) - (n - 1)
= (n - 1)(m - 1) = [(2k + 1)2 - 1][(2k + 3)2 - 1]
= 2k(2k + 2)(2k + 2)(2k + 4)
= 16.k(k + 1)2 (k + 2)
* Chứng minh chia hết cho 64
Với k chẵn thì k và (k + 2) chia hết cho 2
=> 16.k(k + 1)2 (k + 2) chia hết cho 64
Với k lẻ thì (k + 1) chia hết cho 2
=> 16.k(k + 1)2 (k + 2) chia hết cho 64
Vậy 16.k(k + 1)2 (k + 2) chia hết cho 64 (1)
* Chứng minh chia hết cho 3
Ta có k(k + 1)(k + 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với việc 64, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau thì ta có 16.k(k + 1)2 (k + 2) chia hết 64.3 = 192
Hay mn - m - n + 1 chia hết cho 192