Chứng minh rằng không tồn tại x,y,z sao cho | x - 2y | + | 4y - 5z | + | z - 3x | = 2011
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét tổng (x-2y)+(4y-5z)+(z-3x)=-2x+2y-4z là sỗ chẵn với mọi dấu giá trị tuyệt đối .Mà 2011 lẻ.Suy ra vô nghiệm
Ta có: | a | = a nếu a ≥ 0 và -a nếu a < 0, do đó |a| + a = 2a nếu a ≥ 0 và =0 nếu a < 0
Do vậy, nếu a ∈ Z, thì | a | + a là số chẵn
Áp dụng điều này, với x, y, z ∈ Z thì:
| x – 2y | + x – 2y + | 4y – 5z | + 4y – 5z + | z – 3x | + z – 3x là số chẵn
⇒ (| x – 2y | + | 4y – 5z | + | z – 3x |) + (-2x + 2y – 4z) là số chẵn
⇒ | x – 2y | + | 4y – 5z | + | z – 3x | là số chẵn
Mà 2011 là số lẻ. Vậy không tồn tại các số nguyên x, y, z sao cho:
| x – 2y | + | 4y – 5z | + | z – 3x | = 2011
Ta có: | a | = a nếu a ≥ 0 và -a nếu a < 0, do đó |a| + a = 2a nếu a ≥ 0 và =0 nếu a < 0
Do vậy, nếu a ∈ Z, thì | a | + a là số chẵn
Áp dụng điều này, với x, y, z ∈ Z thì:
| x – 2y | + x – 2y + | 4y – 5z | + 4y – 5z + | z – 3x | + z – 3x là số chẵn
⇒ (| x – 2y | + | 4y – 5z | + | z – 3x |) + (-2x + 2y – 4z) là số chẵn
⇒ | x – 2y | + | 4y – 5z | + | z – 3x | là số chẵn
Mà 2011 là số lẻ. Vậy không tồn tại các số nguyên x, y, z sao cho:
| x – 2y | + | 4y – 5z | + | z – 3x | = 2011
\(\text{Với mọi a}\left(\text{a là số nguyên thì:}\right)|a|\text{ cùng tính chẵn lẻ với a}\)
\(\Rightarrow2011\text{ cùng tính chẵn lẻ với:}x-2y+4y-5z+z-3x=2y-4z-2x=2\left(y-2z-x\right)\text{ là số chẵn}\)
\(\Rightarrow\text{ vô lí}\Rightarrow\text{ điều phải chứng minh}\)
Giả sử tồn tại các số nguyên thỏa x,y,z mãn đề bài
Giả sử \(x⋮2\)
\(\Rightarrow\left|x-2y\right|⋮2\)
\(\Rightarrow\left|4y-5z\right|+\left|z-3x\right|\)lẻ(Vì 2011 lẻ)
Với \(z⋮2\)thì:
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left|4y-5z\right|⋮2\\\left|z-3x\right|⋮2\end{cases}}\Rightarrow\left|4y-5z\right|+\left|z-3x\right|⋮2\left(L\right)\)
Với z ko chia hết cho 2 thì hay z lẻ
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left|4y-5z\right|\equiv1\left(mod2\right)\\\left|z-3x\right|\equiv1\left(mod2\right)\end{cases}\Rightarrow\left|4y-5z\right|+\left|z-3x\right|⋮2\left(L\right)}\)
Trường hợp x lẻ chứng minh tương tự ta cũng ko tìm được giá trị nguyên của y,z
Vậy ko tồn tại các số nguyên x,y,z thỏa mãn đề bài(đpcm)
Ta có bổ đề sau:\(\left|x\right|+x\) luôn chẵn với mọi x nguyên
Cái này bạn xét x < 0;x=0 và x > 0 nha !
\(\left|x-2y\right|+\left|4y-5z\right|+\left|z-3x\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|x-2y\right|+\left(x-2y\right)+\left|4y-5z\right|+\left(4y-5z\right)+\left|z-3x\right|+\left(z-3x\right)+2\left(x+y+z\right)\)
Ta thấy
\(\left|x+2y\right|+\left(x+2y\right)⋮2\)
\(\left|4y-5z\right|+\left(4y-5z\right)⋮2\)
\(\left|z-3x\right|+\left(z-3x\right)⋮2\)
\(2\left(x+y+z\right)⋮2\)
\(\Rightarrow VT⋮2\Rightarrow VP⋮2\) ( Vô lý )
=> ĐPCM
a) Xét :
- \(a< 0\)
\(\Rightarrow|a|=-a\)
\(\Rightarrow a+|a|=a+\left(-a\right)=0\)(là số chẵn)
- \(a\ge0\)
\(\Rightarrow|a|=a\)
\(\Rightarrow|a|+a=a+a=2a\)(luôn chẵn với mọi a nguyên)
Vậy ta có đpcm
b) Phần b) chỗ dấu giá trị tuyệt đối thứ 3 có phải là z-3x không ạ ?
Gỉa sử tồn tại các số nguyên x,y,z thỏa mãn đề bài .
Ta có : \(\left(x-2y\right)+\left(4y-5z\right)+\left(z-3x\right)=-2x+2y-4z\)(là một số chẵn)
Áp dụng cm ở phần a), ta có:
\(|x-2y|+\left(x-2y\right)+|4y-5z|+\left(4y-5z\right)+|z-3x|+\left(z-3x\right)\)là 1 số chẵn
\(\Rightarrow|x-2y|+|4y-5z|+|z-3x|\)là một số chẵn
Mà \(2011\)là số lẻ
\(\Rightarrow\)Mẫu thuẫn với giả thiết
\(\Rightarrow\)Điều giả sử là sai
\(\Rightarrowđpcm\)