cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. BE cắt O tại M, CF cắt O tại N
a) chứng minh BFEC nội tiếp và AM=AN
b) chứng minh F là trung điểm NH và AO vuông EF
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 1 2022
1: Xét tứ giác BFEC có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
Do đó: BFEC là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác AEDB có
\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)
Do đó: AEDB là tứ giác nội tiếp
2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC
Suy ra: AE/AF=AB/AC
hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)
10 tháng 7 2021
a) Xét tứ giác BFEC có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)
Do đó: BFEC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC là trung điểm của BC
b) Xét ΔSFB và ΔSCE có
\(\widehat{FSB}\) chung
\(\widehat{SFB}=\widehat{SCE}\left(=180^0-\widehat{BFE}\right)\)
Do đó: ΔSFB∼ΔSCE(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{SF}{SC}=\dfrac{SB}{SE}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(SE\cdot SF=SB\cdot SC\)(đpcm)
9 tháng 1 2023
a: Xét (O) có
góc ACN là góc nội tiếp chắn cung AN
góc ABM là góc nội tiếp chắn cung AM
góc ABM=góc ACN
Do đó: AM=AN
b: Kẻ tiếp tuyến phụ Ax
=>góc xAC=góc ABC
mà góc ABC=góc AEF
nên góc AEF=góc xAC
=>Ax//FE
=>OA vuông góc với FE
31 tháng 1 2023
a: Xét tứ giác AEHF có
góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BFEC có
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
=>ΔABK vuông tại B
=>BK//CH
Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
=>ΔACK vuông tại C
=>CK//BH
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
=>BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của BC
1 tháng 2 2023
a: Xét tứ giác AEHF có
góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BFEC có
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
=>ΔABK vuông tại B
=>BK//CH
Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
=>ΔACK vuông tại C
=>CK//BH
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
=>BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của BC
19 tháng 2 2023
a: Xét tứ giác BDEA có
góc BDA=góc BEA=90 độ
=>BDEA là tứ giác nội tiếp
b: Kẻ tiếp tuyến Ax
=>góc xAC=góc ABC
mà góc ABC=góc AEF(=180 độ-góc FEC)
nên góc xAC=góc AEF
=>Ax//FE
=>FE vuông góc OA
Xét (O) có
ΔACA' nội tiếp
AA' là đường kính
=>ΔACA' vuông tại C
Xét tứ giác A'CEM có
góc EMA'+góc ECA'=180 độ
=>A'CEM là tứ giác nội tiếp
Lời giải:
a. Tứ giác $BFEC$ có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên là tgnt
$\Rightarrow \widehat{EBF}=\widehat{ECF}$ (cùng nhìn cạnh $EF$)
$\Leftrightarrow \widehat{ABM}=\widehat{ACN}$
$\Rightarrow \text{sđc(AM)}=\text{sđc(AN)}$
$\Rightarrow AM=AN$
b. Do $AM=AN$ (cmt) nên $\widehat{ABN}=\widehat{ABM}$ (góc nt chắn 2 cung bằng nhau)
hay $\widehat{NBF}=\widehat{HBF}$
hay $BF$ là phân giác $\widehat{NBH}$
Tam giác $BNH$ có $BF$ vừa là đường cao và phân giác nên $BHN$ là tam giác cân
$\Rightarrow BF$ cũng là đường trung tuyến của tam giác
$\Rightarrow F$ là trung điểm NH$
Kẻ tiếp tuyến $Ax$ như hình. Khi đó $Ax\perp AO(1)$
Ta có:
$\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$ (theo tc tiếp tuyến)
$\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$ (do $BFEC$ là tgnt)
$\Rightarrow \widehat{xAB}=\widehat{AFE}$
Hai góc này ở vị trí so le trong nên $Ax\parallel EF(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow AO\perp EF$ (đpcm)
Hình vẽ:
