Cho x+y = 2. Tính GTLN của x2 + y2.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NB
2
TT
6 tháng 3 2020
Ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
Áp dụng vào bài toán có :
\(P\le\frac{x+y}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}+\frac{y+z}{\frac{\left(y+z\right)^2}{2}}+\frac{z+x}{\frac{\left(z+x\right)^2}{2}}\) \(=\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)\)
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\), \(\frac{4}{y+z}\le\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\), \(\frac{4}{z+x}\le\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\)
Do đó : \(P\le\frac{1}{2}\left[2.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right]=2016\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{672}\)
P/s : Dấu "=" không chắc lắm :))
30 tháng 4 2023
Ta có \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=2xy+1\)
Từ đó \(P=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+1}\). Đặt \(x+y=t\left(t\ge0\right)\). Vì \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=2\) nên \(t\le\sqrt{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Ta cần tìm GTLN của \(P\left(t\right)=\dfrac{t^2}{t+1}\) với \(0\le t\le\sqrt{2}\).
Giả sử có \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\). Ta có BDT luôn đúng \(\left(t_2-t_1\right)\left(t_2+t_1+t_2t_1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow t_2^2-t_1^2+t_2^2t_1-t_2t_1^2\ge0\) \(\Leftrightarrow t_1^2\left(t_2+1\right)\le t_2^2\left(t_1+1\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{t_1^2}{t_1+1}\le\dfrac{t_2^2}{t_2+1}\) \(\Leftrightarrow P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Như vậy với \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\) thì \(P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Do đó P là hàm đồng biến. Vậy GTLN của P đạt được khi \(t=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), khi đó \(P=2\sqrt{2}-2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2023
Lời giải:
$P=\frac{2xy+1}{x+y+1}=\frac{2xy+x^2+y^2}{x+y+1}=\frac{(x+y)^2}{x+y+1}$
$=\frac{a^2}{a+1}$ với $x+y=a$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{a^2}{2}$
$\Rightarrow a^2\leq 2\Rightarrow a\leq \sqrt{2}$
$P=\frac{a^2}{a+1}=\frac{a}{1+\frac{1}{a}}$
Vì $a\leq \sqrt{2}\Rightarrow 1+\frac{1}{a}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=-2+2\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=-2+2\sqrt{2}$ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
PH
0
8 tháng 5 2021
Đặt \(P=\dfrac{xy}{xy+1}\Rightarrow\dfrac{1}{P}=\dfrac{xy+1}{xy}=1+\dfrac{1}{xy}\)
Ta có : \(xy\le\dfrac{x^2+y^2}{2}=\dfrac{8}{2}=4\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\ge4\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{P}\ge5\Rightarrow P\le\dfrac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$
DD
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
23 tháng 6 2021
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)^2-6xy+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+y\right)^2+x+y+2\right)-3xy\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(x^2+y^2+2xy+x+y+2-3xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=-2\)
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}=\frac{4}{-2}=-2\)
Dấu \(=\)khi \(x=y=-1\).
x+y = 2 => x=2-y
\(x^2+y^2=x^2+\left(2-y\right)^2\)
\(=x^2+4-4y+y^2\)
\(=x^2+\left(y-2\right)^2+4\)
\(\ge4\)