Cho ba số x,y,z ko âm thõa mãn x+y+z=1
Cmr : 0<= xy+yz+xz-2xyz<=\(\frac{7}{27}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 10 2021
Lời giải:
a. Xét hiệu:
$x^3+y^3-xy(x+y)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)=x^2(x-y)-y^2(x-y)$
$=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$
$\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
b.
Áp dụng BĐT phần a vô:
$x^3+y^3\geq xy(x+y)$
$\Rightarrow x^3+y^3+1\geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$
$\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
$\text{VT}\geq \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
25 tháng 4 2019
Em chung họ nguyển với anh em xin được làm quen với anh NGUYỄN THÀNH NAM
TN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 7 2021
Lời giải:
Vì $0\leq x,y,z\leq 1$ nên:
$x(x-1)(y-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow x^2y\geq x^2+xy-x$
Tương tự và cộng theo vế:
$x^2y+y^2z^2+z^2x+1\geq x^2+y^2+z^2+(xy+yz+xz)-(x+y+z)+1(*)$
Lại có:
$(x-1)(y-1)(z-1)\leq 0$
$\Leftrightarrow xyz-(xy+yz+xz)+(x+y+z)-1\leq 0$
$\Leftrightarrow xy+yz+xz-(x+y+z)\geq xyz-1\geq -1$ do $xyz\geq 0(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x+1\geq x^2+y^2+z^2$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(0,1,1); (0,0,1)$ và hoán vị.
CX
26 tháng 2 2020
giả sử x = 0
=) ta có : 0 = y4 ( y - z )
vô lí vì y4 ( y - z ) lớn hơn hoặc bé hơn 0
giả sử y = 0
=) ta có : x2 = 0 ( 0 - z ) = 0 ( vô lí )
vô lí vì x2 lớn hơn 0
=) x và y không thể = 0
TT
26 tháng 2 2020
1. Giả sử x=0 => y\(\ne\)0
=>x^2=0^2=0 => y^4(y-z)=0 => vì y khác 0 nên y-z=0 => y=z (loại)
giả xử y=0 =>x khác 0
=>y^4=0 =>y^4(y-z)=0 hay x^2=0 =>x=0 (loại)
Vậy x hoặc y ko thể =0
2. Từ câu 1=> z=0 =>x^2=y^5 => giả sử y âm =>y^5 âm , mà x^2 luôn dương => (loại)
vậy x âm y dương z=0