Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
\(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 2 2019
Vì (a-b)2 \(\ge\)0 \(\forall\)a,b\(\Rightarrow\)a2+b2 \(\ge\)2ab. Mà ab=4\(\Rightarrow\)a2+b2 \(\ge\)8.
\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)\(\ge\)\(\frac{\left(a+b-2\right).8}{a+b}\)
Đặt t=a+b\(\Rightarrow\)t\(\ge\)4 (Do a+b \(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)= 4)
\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}\) = \(\frac{8t-16}{t}\)=\(8-\frac{16}{t}\)
Vì t\(\ge\)4 \(\Rightarrow\)\(\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}=4\)\(\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\)\(\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)
\(\Rightarrow P\ge4.\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=b\\a.b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)
Vậy P min = 4 \(\Leftrightarrow\)a=b=2.
20 tháng 11 2019
Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo.
T
20 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c = 2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
UI
20 tháng 5 2020
Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
thi \(P= \Sigma \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} \) (1)
Mat khac co \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (2)
Tu (1) va (2) suy ra \(P\ge\frac{3}{2}\).Dau = xay ra khi \(a=b=c=1\)
T
9 tháng 6 2016
Có \(2a+2b-3\ge2\sqrt{2a.2b}-1=1\)(vì ab=1)
\(\Rightarrow F\ge a^3+b^3+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)
Vì ( a - b )2 \(\ge\)0 \(\forall\)a,b \(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\). Mà ab = 4 \(\Rightarrow a^2+b^2\ge8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge\frac{\left(a+b-2\right).8}{a-b}\)
Đặt t = a + b \(\Rightarrow t\ge4\)( Do \(a+b\ge2\sqrt{ab}=4\))
\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}=\frac{8t-16}{t}=8-\frac{16}{t}\)
Vì \(t\ge4\Rightarrow\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge4\)Dấu '' = '' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a,b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)
Vậy \(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)min \(\Leftrightarrow a=b=2\)