Cho tam giác ABC vuông tại A có ba đỉnh nằm trên đường tròn(O;R).Các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại E và lần lượt cắt đường tròn tại D và F.Chứng minh AEDF là hình thoi
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 12 2020
1) Xét (O) có
ΔDAB nội tiếp đường tròn (O)(Vì D,A,B∈(O))
mà AB là đường kính của (O)(gt)
nên ΔDAB vuông tại D(Định lí)
⇒BD⊥AD tại D
hay BD⊥AC
Xét (O) có
ΔEAB nội tiếp đường tròn(E,A,B∈(O))
mà AB là đường kính(gt)
nên ΔEAB vuông tại E(Định lí)
⇒AE⊥EB tại E
hay AE⊥BC tại E
Xét ΔCAB có
BD là đường cao ứng với cạnh AC(cmt)
AE là đường cao ứng với cạnh BC(cmt)
BD\(\cap\)AE={H}
Do đó: H là trực tâm của ΔCAB(Tính chất ba đường cao của tam giác)
⇔CH là đường cao ứng với cạnh AB
hay CH⊥AB(đpcm)
14 tháng 1 2019
Gọi I là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC, khi đó 3 điểm C,I,K thẳng hàng. Gọi đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)AIE cắt tia CI tại điểm thứ hai F.
Xét \(\Delta\)CKA và \(\Delta\)CIB có: ^ACK = ^BCI (=^ACB/2); ^CAK = ^CBI (=^ABC/2) => \(\Delta\)CKA ~ \(\Delta\)CIB (g.g)
Suy ra: \(\frac{CK}{CI}=\frac{CA}{CB}\). Mà \(\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CA}\)(\(\Delta\)CAD ~ \(\Delta\)CBA) nên \(\frac{CK}{CI}=\frac{CD}{CA}\Rightarrow\frac{CK}{CD}=\frac{CI}{CA}\)
Lại có: CEA và CIF là 2 cát tuyến của (AIE) nên \(\frac{CI}{CA}=\frac{CE}{CF}\). Từ đó: \(\frac{CK}{CD}=\frac{CE}{CF}\)
Suy ra: \(\Delta\)CEK ~ \(\Delta\)CFD (c.g.c) => ^CEK = ^CFD. Nếu ta gọi 2 tia FD và EK cắt nhau ở L' thì ^CEL' = ^CFL'
=> Tứ giác CL'FE nội tiếp => ^ECF = ^EL'F => ^KCD = ^KL'D => Tứ giác CKDL' nội tiếp
Áp dụng phương tích đường tròn có: FK.FC=FD.FL' (1)
Cũng từ \(\Delta\)CKA ~ \(\Delta\)CIB (cmt) => ^BIF = ^AKI hay ^AKF = ^EIC => ^AKF = ^CAF
=> \(\Delta\)AFK ~ \(\Delta\)CFA (g.g) => FA2 = FK.FC (2)
Từ (1) và (2) => FA2 = FD.FL' => \(\Delta\)FDA ~ \(\Delta\)FAL' (c.g.c)
=> ^FL'A = ^FAD = ^DAC - ^FAC = ^ABC - ^FKA = ^ABC - (^KAC + ^ACK) = ^ABC/2 - ^ACB/2
Do đó: ^AL'E = ^FL'A + ^FL'E = ^ABC/2 - ^ACB/2 + ^ACB/2 = ^ABC/2 = ^ABE => Tứ giác ABL'E nội tiếp
Hay tia EK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tại L' => L' trùng L
Từ đó dễ có: ^BLC = ^ABC/2 + ^ACB + ^ABC/2 + ^BAC/2 = ^ABC + ^ACB + ^BAC/2 = 1800 - ^BAC/2
Vậy thì tâm của đường tròn (BLC) nằm tại điểm chính giữa cung BC chứa A của (O) (đpcm).
G
13 tháng 12 2021
1) Xét (O) có
ΔDAB nội tiếp đường tròn (O)(Vì D,A,B∈(O))
mà AB là đường kính của (O)(gt)
nên ΔDAB vuông tại D(Định lí)
⇒BD⊥AD tại D
hay BD⊥AC
Xét (O) có
ΔEAB nội tiếp đường tròn(E,A,B∈(O))
mà AB là đường kính(gt)
nên ΔEAB vuông tại E(Định lí)
⇒AE⊥EB tại E
hay AE⊥BC tại E
Xét ΔCAB có
BD là đường cao ứng với cạnh AC(cmt)
AE là đường cao ứng với cạnh BC(cmt)
BD∩AE={H}
Do đó: H là trực tâm của ΔCAB(Tính chất ba đường cao của tam giác)
⇔CH là đường cao ứng với cạnh AB
hay CH⊥AB(đpcm)
16 tháng 2 2021
a) Gọi G là trung điểm của BC
Ta có: ΔDBC vuông tại D(BD\(\perp\)AC tại D)
mà DG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(G là trung điểm của BC)
nên \(DG=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)
Ta có: ΔEBC vuông tại E(CE\(\perp\)AB)
mà EG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(G là trung điểm của BC)
nên \(EG=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)
Ta có: G là trung điểm của BC(gt)
nên \(BG=CG=\dfrac{BC}{2}\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra GB=GC=GE=GD
hay B,C,D,E cùng nằm trên một đường tròn(đpcm)