Question

[Gallavich]

Câu 1 : Cho biểu thức \(P=\dfrac{x^3-3}{x^2-2x-3}-\dfrac{2x-6}{x+1}+\dfrac{x+3}{3-x}vớix\ne-1;x\ne3\)

a, Rút gọn biểu thức P

b,Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(m\left(m-2x\right)=x-8m\) có một nghiệm là x=3

Câu 3: Gọi Q(x) là đa thức thương trong phép chia đa thức \(A\left(x\right)=x^4+3x^3-4x^2-4x+12\) cho đa thức \(B\left(x\right)=x^2+x-1\) . Tìm GTNN của Q(x)

Câu 4: Cho các số thực a,b thỏa mãn \(a^2+b^2+ab-a+b+1=0\) . Tính giá trị biểu thức \(M=3a^2-2b^4-1\)

Câu 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử \(\left(x^2+x\right)\cdot\left(x^2+x+1\right)-6\)

Câu 6: Tìm số tự nhiên x để \(x^2+3x+6\) là số chính phương

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Câu 1: 

1: 

a) Ta có: \(P=\dfrac{x^3-3}{x^2-2x-3}-\dfrac{2x-6}{x+1}+\dfrac{x+3}{3-x}\)

\(=\dfrac{x^3-3}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{\left(2x-6\right)\left(x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}-\dfrac{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^3-3-2x^2+6x+6x-18-x^2-4x-3}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{x^3-3x^2+8x-24}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{x^2\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x^2+8\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+8}{x+1}\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Câu 1:

a) 

\(P=\frac{x^3-3}{(x+1)(x-3)}-\frac{2(x-3)^2}{(x+1)(x-3)}-\frac{(x+3)(x+1)}{(x-3)(x+1)}\)

\(=\frac{x^3-3-2(x-3)^2-(x+3)^2}{(x+1)(x-3)}\)

\(=\frac{x^3-3x^2+8x-24}{(x+1)(x-3)}=\frac{(x-3)(x^2+8)}{(x+1)(x-3)}=\frac{x^2+8}{x+1}\)

b) Với $x$ nguyên, để $P$ nguyên thì $\frac{x^2+8}{x+1}$ nguyên

Điều này xảy ra khi $x^2+8\vdots x+1$

$\Leftrightarrow x^2-1+9\vdots x+1$

$\Leftrightarrow (x-1)(x+1)+9\vdots x+1$

$\Leftrightarrow 9\vdots x+1$

$\Rightarrow x+1\in\left\{\pm 1;\pm 3;\pm 9\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{-2;0; -4; 2; -10; 8\right\}$ (đều thỏa mãn ĐKXĐ)