Question

[monsiaur kite]

cho \(\Delta ABC;\widehat{A}=60^0\) kẻ phân giác AD của góc BAC CMR:\(\frac{\sqrt{3}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

các bạn giải bằng cách lớp 8,ko áp dụng sin,cos lớp 9 nhé

Answer 1

[✎﹏ミ★꧁༺вєѕт↭ℓαυяιєℓ↭νи༻꧂★ミ.༻(Trưở...]

A B C D E H

ta có AD là phân giác góc BAC thì \(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}=\frac{60^0}{2}=30^0\)

hình vẽ ko đc đẹp thông cảm

ta kẻ \(DE\\ AB;E\in AC\)

\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=\frac{DE}{AB}\)(hệ quả của đlý Talets nhé)

\(DE\\ AB\Rightarrow\widehat{AED}=180^0-\widehat{BAC}=180^0-60^0=120^0\)

TỪ ĐÓ TA TÍNH ĐC GÓC EAD=30⁰ \(\Rightarrow\Delta AED\)cân tại E

\(\Rightarrow AE=ED\)

\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=\frac{AE}{AB}\)(thay vào cái tỉ số ở trên nhé)

\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=\frac{AC-AE}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=1-\frac{AE}{AC}\)(1)

ta kẻ:\(EH\perp AD\left(H\in AD\right)\)từ đó EH sẽ là đường cao của tam giác AED cân tại E

\(\Rightarrow AH=HE\)(TC)

\(\Delta AHE\) VUÔNG TẠI H,theo định lý Pytago TA CÓ:

\(AH^2+HE^2=AE^2\)

TA có tính chất sau:trong tam giác vuông có 1 góc bằng 30 độ thì cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền

\(\Rightarrow AE=2HE\)(áp dụng vào tam giác AHE)

\(\Rightarrow AH^2+HE^2=4HE^2\)

\(\Rightarrow AH^2=3HE^2\)

MÀ  \(AH+HE=AD;AH=AE\Rightarrow2AH=AD\Rightarrow4AH^2=AD^2\)

\(\Rightarrow4.AH^2=12HE^2\Rightarrow AD^2=3.\left(4.HE^2\right)\)

\(\Rightarrow AD^2=3.AE^2\)(DO HE=2AE)

\(\Rightarrow AD=\sqrt{3}AE\)(do cạnh của tam giác luôn lớn hơn 0)

ta thày vào (1),có:​

\(\frac{AE}{AB}=1-\frac{AE}{AC}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}AE}{AB}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}AE}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\sqrt{3}-\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow AD.\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\right)=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{AD}\)(ĐPCM)