Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, đường cao AD cẳt đường tròn tại E. Vẽ đường kính AM. Chứng minh:
a) BEMC là hình thang cân
b) DA2 + DB2 + DE2 + DC2 = 4R2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 1
a: Xét (O) có
ΔABM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔABM vuông tại B
=>BM\(\perp\)AB
mà CH\(\perp\)AB
nên CH//BM
Xét (O) có
ΔACM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔACM vuông tại C
=>AC\(\perp\)CM
mà BH\(\perp\)AC
nên BH//CM
Xét tứ giác BHCM có
BH//CM
BM//CH
Do đó: BHCM là hình bình hành
b:
Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại D
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{BAN}=90^0\)(ΔADB vuông tại D)
\(\widehat{AMC}+\widehat{MAC}=90^0\)(ΔACM vuông tại C)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)
nên \(\widehat{BAN}=\widehat{MAC}\)
Xét (O) có
ΔANM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔANM vuông tại N
=>AN\(\perp\)NM
mà AN\(\perp\)BC
nên BC//NM
Ta có: \(\widehat{CHD}=\widehat{ABC}\)(=90 độ-góc FCB)
\(\widehat{ABC}=\widehat{ANC}\)
Do đó: \(\widehat{CHD}=\widehat{ANC}\)
=>ΔCHN cân tại C
=>CH=CN
mà CH=BM
nên BM=CN
Xét tứ giác BCMN có BC//MN
nên BCMN là hình thang
Hình thang BCMN có BM=CN
nên BCMN là hình thang cân
28 tháng 2 2023
a: Xét tứ giác BEMC có
góc BEC=góc BMC=90 độ
=>BEMC là tứ giác nội tiếp
b: AEHM; BEHI;CIHM;AEIC; BIMA
c: Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
=>ΔACK vuông tại C
Xét ΔACK vuông tại C và ΔAIB vuông tại I có
góc AKC=góc ABI
=>ΔACK đồng dạng vơi ΔAIB
=>AC/AI=AK/AB
=>AC*AB=AK*AI
19 tháng 4 2021
a) Xét tứ giác AEDB có
\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}\left(=90^0\right)\)
nên AEDB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
16 tháng 3 2021
Xét đường tròn (O) có: \(\Delta\)ACD nt; AD là đường kính
\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ACD là tam giác vuông tại C (sự xác định đường tròn)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{C}\) = 90o
Xét tứ giác OECD có: \(\widehat{EOD}+\widehat{C}=90^o+90^o=180^o\) (OE \(\perp\) AD tại O)
\(\widehat{EOD}\) và \(\widehat{C}\) là 2 góc đối nhau
\(\Rightarrow\) Tứ giác OECD nt đường tròn (định lý tứ giác nt)
b, Xét tam giác AED có: EO \(\perp\) AD tại O (gt); EO là trung tuyến ứng với AD
\(\Rightarrow\) \(\Delta\)AED là tam giác cân tại E (dhnb tam giác cân)
\(\Rightarrow\) EA = ED (đpcm)
c, Vì \(\Delta\)AED là tam giác cân tại E (cmb)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EAD}=\widehat{EDA}\) (t/c) (1)
Lại có: \(\Delta\)AOC cân tại O (OA = OC = R)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{OAE}=\widehat{OCE}\) (t/c) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat{EDA}=\widehat{OCE}\)
Xét tam giác AOC và tam giác AED có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{OCA}=\widehat{EDA}\) (cmt)
\(\Rightarrow\) \(\Delta\)AOC ~ \(\Delta\)AED (gg)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AO}{AE}=\dfrac{AC}{AD}\) (tỉ số đồng dạng)
\(\Rightarrow\) AE.AC = AO.AD
Mà trong đường tròn (O): AO = R; AD = 2R (AO là bk; AD là đk)
\(\Rightarrow\) AE.AC = R.2R = 2R2 (đpcm)
Chúc bn học tốt!
A
19 tháng 5 2018
a, ta có : góc CFH=90°; góc HEB=90°(góc nội tiếp chắn 1/2đtròn)
xét tứ giác AEHF có góc A=gócE=góc F=90°
suy ra AEHF là hcn.
b, vì AEHF là hcn suy ra AEHF nội tiếp suy ra góc AFE=AHE( góc nội tiếp chắn cung AE) (1)
ta lại có: góc AHE=ABH(cùng bù với BAH) (2)
từ 1 và 2 suy ra góc AFE=ABH
mà góc CFE+AFE=180°
suy ra góc CFE+ABH=180°
suy ra BEFC nội tiếp
c, gọi I và K lần lượt là tâm đtròn đường kính HB và HC
gọi O là giao điểm AH và EF
vì AEHF là hcn suy ra OF=OH suy ra tam giác FOH cân tại O
suy ra góc OFH=OHF
vì CFH vuông tại F suy ra KC=KF=KH
suy ra tam giác HKF cân tại K
suy ra góc KFH=KHF
mà góc KHF+FHA=90°
suy ra góc KFH+HFO=90°
suy ra EF là tiếp tuyến của đtròn tâm K
tương tự EF là tiếp tuyến đường tròn tâm I
vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC
5 tháng 6 2019
a)
1. Ta có : ÐBEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )
=> ÐAEH = 900 (vì là hai góc kề bù). (1)
ÐCFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )
=> ÐAFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2)
ÐEAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông tại A) (3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)
b) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được một đường tròn
=>ÐF1=ÐH1 (nội tiếp chắn cung AE) .
Theo giả thiết AH ^BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1) và (O2)
=> ÐB1 = ÐH1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => ÐB1= ÐF1 => ÐEBC+ÐEFC = ÐAFE + ÐEFC màÐAFE + ÐEFC = 1800 (vì là hai góc kề bù) => ÐEBC+ÐEFC = 1800 mặt khác ÐEBC và ÐEFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp.
c)
Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => DIEH cân tại I => ÐE1 = ÐH1 .
DO1EH cân tại O1 (vì có O1E vàO1H cùng là bán kính) => ÐE2 = ÐH2.
=> ÐE1 + ÐE2 = ÐH1 + ÐH2 mà ÐH1 + ÐH2 = ÐAHB = 900 => ÐE1 + ÐE2 = ÐO1EF = 900
=> O1E ^EF .
Chứng minh tương tự ta còng có O2F ^ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròndường kính BH và HC.
5 tháng 7 2023
a: góc ACM=1/2*sđ cung AM=90 độ
b: góc ADB=góc AEB=90 độ
=>ABDE nội tiếp
a) Ta có \(\hept{\begin{cases}AE\perp EM\\AE\perp BC\end{cases}\Rightarrow}EM\text{//}BC\Rightarrow\)BEMC là hình thang
Mà BEMC nội tiếp (O) => BEMC là hình thang cân.
b) Ta có : BEMC la hình thang cân (c/m câu a)
=> BE = MC (2 cạnh bên)
Lại có : \(DB^2+DE^2=BE^2=MC^2\) ; \(DA^2+DC^2=AC^2\)
\(\Rightarrow DA^2+DB^2+DC^2+DE^2=MC^2+AC^2=AM^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)