Question

[Luyện Hoàng Hương Thảo]

1. Cho biểu thức: \(P=\frac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\)

a. Rút gọn P

b. Tính P biết: \(x=4\text{[}2-\sqrt{3}\text{]}\)

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

2. Cho \(Q=\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}\)

a. Chứng minh \(Q=\frac{1}{\sqrt{x+2}+1}\)

b. Tính Q biết \(x=40,25\)

c. Tìm giá trị lớn nhất của Q

các bạn giải giúp mk với. tks trc nha.

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

a( \(P=\frac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\)(ĐKXĐ : \(1\le x\ne3\))

\(=\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\right)}{\left(x-3\right)}=\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\)

b) \(x=4\left(2-\sqrt{3}\right)\Rightarrow x-1=7-4\sqrt{3}=\left(2-\sqrt{3}\right)^2\)

Thay vào P được : \(P=2-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)

c) Với mọi \(x\ge1,x\ne3\)ta luôn có \(\sqrt{x-1}\ge0\Rightarrow\) \(P=\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\ge\sqrt{2}\). Dấu "=" xảy ra khi x = 1

Vậy Min P = \(\sqrt{2}\Leftrightarrow x=1\)

2. a) \(Q=\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}\)(ĐKXĐ: \(-2\le x\ne-1\))

\(=\frac{\left(\sqrt{x+2}-1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}=\frac{x+2-1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}=\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+2}+1}\)b) \(x=40,25=\frac{161}{4}\Rightarrow x+2=\frac{169}{4}\Rightarrow Q=\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{4}}+1}=\frac{1}{\frac{13}{2}+1}=\frac{2}{15}\)

c)  Ta có : \(Max_Q\Leftrightarrow Min_{\left(\sqrt{x+2}+1\right)}\) 

Mà : \(\sqrt{x+2}+1\ge1\) với mọi \(-2\le x\ne-1\)

Do đó Max Q = 1 \(\Leftrightarrow x=-2\)