[Ôn thi vào 10]
Câu 1:
a. Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức sau có nghĩa: \(A=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\)
b. Tính: \(\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}\)
Câu 2:
Giải phương trình và bất phương trình sau:
a. \(\left(x-3\right)^2=4\)
b. \(\dfrac{x-1}{2x+1}< \dfrac{1}{2}\)
Câu 3:
Cho phương trình: \(x^2-2mx-1=0\)
a. Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\)
b. Tìm các giá trị của \(m\) để: \(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7\)
Câu 4:
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O;R) tại điểm thứ hai là M.
a. Chứng minh △SMA đồng dạng với △SBC.
b. Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD.
c. Chứng minh: OK.OS = R2
Câu 5:
Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+1=2y\\y^3+1=2x\end{matrix}\right.\)
Câu 1
a Biểu thức A = \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\) có nghĩa
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\3-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow1\le x\le3\)
Vậy biểu thức A có nghĩa khi \(1\le x\le3\)
b) \(\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}\)
\(=\dfrac{3+\sqrt{5}}{9-5}-\dfrac{\sqrt{5}-1}{5-1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}-\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}=\dfrac{3+\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}{4}=\dfrac{4}{4}=1\)
Câu 2:
a) \(\left(x-3\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=2\\x-3=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là: S ={5; 1}
b) ĐKXĐ: \(x\ne-\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{x-1}{2x+1}< \dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{2x+1}-\dfrac{1}{2}< 0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x-1\right)-\left(2x+1\right)}{2\left(2x+1\right)}< 0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-2-2x-1}{2\left(2x+1\right)}< 0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-3}{2\left(2x+1\right)}< 0\)
Vì -3 < 0 \(\Rightarrow2\left(2x+1\right)>0\)
\(\Rightarrow2x+1>0\)
\(\Rightarrow x>-\dfrac{1}{2}\)
Vậy bất phương trình có nghiệm là: \(x>-\dfrac{1}{2}\)