Cho a,b,c >0
CMR:\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{a^2+ac+c^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 4 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM: \(ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow a^2+ab+b^2\leq \frac{3}{2}(a^2+b^2)\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2}{3}.\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\)
Mà cũng theo BĐT AM-GM: \(\frac{ab^2}{a^2+b^2}\leq \frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\geq \frac{2}{3}(a-\frac{b}{2})\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{2}{3}(a-\frac{b}{2})+\frac{2}{3}(b-\frac{c}{2})+\frac{2}{3}(c-\frac{a}{2})=\frac{a+b+c}{3}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
RD
15 tháng 4 2019
Ta có:\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a\left(a^2+ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)
Lại có:\(a^2+ab+b^2\ge3ab\)
\(\Rightarrow a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}\)
\(\Rightarrow\sum\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
"="<=>a=b=c
22 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT AM - GM : \(ab< \frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow a^2+ab+b^2\le\frac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{2}{3}.\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\)
Mà cũng theo BĐT AM - GM : \(\frac{ab^2}{a^2+b^2}\le\frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\ge\frac{2}{3}\left(a-\frac{b}{2}\right)\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế :
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\frac{2}{3}\left(a-\frac{b}{2}\right)+\frac{2}{3}\left(b-\frac{c}{2}\right)\) \(+\frac{2}{3}\left(c-\frac{a}{2}\right)\)
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
22 tháng 11 2019
Tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Đỗ Tiến Dũng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
16 tháng 5 2020
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge a^2+b^2+c^2\)
DT
Cho a,b,c>0 CMR
\( \frac{a^3}{bc}+ \frac{b^3}{ac}+ \frac{c^3}{ab}\ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} \)
0
29 tháng 6 2017
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(=\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(a+c\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
\(\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}\)
15 tháng 9 2015
Đầu tiên ta nhắc lại một kết quả sau: Với mọi số dương \(x,y\) thì \(\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}.\) Thực vậy bất đẳng thức tương đương với \(3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)-4xy\ge0\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2\ge0.\) (Đúng).
Đặt vế trái của bất đẳng thức là \(S\) và đặt \(T=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}.\) Áp dụng hằng đẳng thức \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right),\) ta được
\(S-T=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}=\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\).
Suy ra \(S=T.\) Ta có
\(2S=S+T=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
\(=\left(a+b\right)\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}+\left(b+c\right)\frac{b^2-bc+c^2}{b^2+bc+c^2}+\left(c+a\right)\frac{c^2-ca+a^2}{c^2+ca+a^2}\)
\(\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}.\)
Do đó \(2S\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\to S\ge\frac{a+b+c}{3}.\)
22 tháng 6 2017
Cho mk hỏi tại sao lại phải đặt thêm biểu thức T vậy ???
Mk vẫn ko hiểu cho lắm !!!
Một số đánh giá: \(a^2+ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(ab=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}-\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a\left(a^2+ab+b^2\right)-a\left(ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)
\(\ge a-\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}.\left(a+b\right)}{\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a-b}{2}\)
Tương tự và suy ra đpcm.