Cho dãy số \(\left(u_n\right)\)thỏa mãn \(logu_1+\sqrt{2+logu_1-2logu_{10}}=2logu_{10}\)và\(u_{n+1}=2u_n\)với mọi \(n\ge1\).Giá trị nhỏ nhất của n để \(u_n>5^{100}\)?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+4}\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{u_n}\)
Đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=2v_n+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(v_n+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(v_n+\dfrac{1}{2}=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3}{2}\\x_{n+1}=2x_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội 2 \(\Rightarrow x_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}=3.2^{n-2}\)
\(\Leftrightarrow v_n=x_n-\dfrac{1}{2}=3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3.2^{n-1}-1}\)
\(u_{n+1}^2=\dfrac{u_n^2}{1+u_n^2}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}^2}=\dfrac{1}{u_n^2}+1\)
Đặt \(\dfrac{1}{u_n^2}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{2018^2}\\v_{n+1}=v_n+1\end{matrix}\right.\)
\(v_n\) là cấp số cộng với công sai d=1 \(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{2018^2}+n-1\)
\(\Rightarrow u_n^2=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2018^2}-1}\)
\(u_n^2< \dfrac{1}{2018^2}\Rightarrow\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2018^2}-1}< \dfrac{1}{2018^2}\Rightarrow n...\)
1:
a: \(u_2=2\cdot1+3=5;u_3=2\cdot5+3=13;u_4=2\cdot13+3=29;\)
\(u_5=2\cdot29+3=61\)
b: \(u_2=u_1+2^2\)
\(u_3=u_2+2^3\)
\(u_4=u_3+2^4\)
\(u_5=u_4+2^5\)
Do đó: \(u_n=u_{n-1}+2^n\)
Dễ dàng nhận thấy \(u_n\) là dãy dương
Ta sẽ chứng minh \(u_n< 2\) ; \(\forall n\)
Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (thỏa mãn)
Giả sử điều đó đúng với \(n=k\) hay \(u_k< 2\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)
Thật vậy, \(u_{k+1}=\sqrt{u_k+2}< \sqrt{2+2}=2\) (đpcm)
Do đó dãy bị chặn trên bởi 2
Lại có: \(u_{n+1}-u_u=\sqrt{u_n+2}-u_n=\dfrac{u_n+2-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}=\dfrac{\left(u_n+1\right)\left(2-u_n\right)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}>0\) (do \(u_n< 2\))
\(\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) dãy tăng
Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là k>0
Lấy giới hạn 2 vế giả thiết:
\(\lim\left(u_{n+1}\right)=\lim\left(\sqrt{u_n+2}\right)\Leftrightarrow k=\sqrt{k+2}\)
\(\Leftrightarrow k^2-k-2=0\Rightarrow k=2\)
Vậy \(\lim\left(u_n\right)=2\)
Xét \(\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{u_n+4}{2u_n}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{4}{u_n}\right)\) (1)
Đặt \(\dfrac{1}{u_n}=x_n\)
(1) <=> \(x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(4x_n+1\right)=2x_n+\dfrac{1}{2}\)
<=> \(x_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(x_n+\dfrac{1}{2}\right)\) (2)
Đặt \(x_n+\dfrac{1}{2}=t_n\)
(2) <=> tn+1 = 2.tn => q = 2
Có: \(t_n=t_1.2^{n-1}\)
Mà \(t_1=x_1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{u_1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
=> \(t_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}\)
=> \(x_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}-\dfrac{1}{2}\)
=> \(u_n=\dfrac{2}{3.2^{n-1}-1}\)
\(logu_1+\sqrt{2+logu_1-2logu_{10}}=2logu_{10}\)
\(\Leftrightarrow logu_1-2logu_{10}+\sqrt{2+logu_1-2logu_{10}}=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-2+t=0\)(\(t=\sqrt{2+logu_1-2logu_{10}}\ge0\))
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=-2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2+logu_1-2logu_{10}=1\)
\(\Leftrightarrow2+logu_1-2log\left(2^9u_1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow log\left(10u_1\right)=log\left(2^9u_1\right)^2\)
\(\Rightarrow10u_1=2^{18}u_1^2\)
\(\Leftrightarrow u_1=\frac{10}{2^{18}}\).
\(u_n=\frac{2^{n-1}.10}{2^{18}}>5^{100}\Leftrightarrow n>log_2\left(\frac{5^{100}.2^{19}}{10}\right)=-log_210+100log_25+19\)
Suy ra \(n\ge248\).