Question

[Nguyen Thi Hang]

tìm các số nguyên dương x;y;z thoả mãn :

\(x^3-y^3-z^3=3xyz\)và\(x^2=2\left(y+z\right)\)

Answer 1

[Đinh Thùy Linh]

(*) \(x^3-y^3-z^3=3xyz\)\(\Leftrightarrow x^3-3xyz=\left(y+z\right)\left[\left(y+z\right)^2-3yz\right]\)

Thay \(y+z=\frac{1}{2}x^2\)(*) \(\Leftrightarrow x^3-3xyz=\frac{x^2}{2}\left(\frac{x^4}{4}-3yz\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{8}-x^3-\frac{3}{2}x^2yz+3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow x^6-8x^3-12x^2yz+24xyz=0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x^3-8\right)-12x\left(x-2\right)yz=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x^4-12yz+2x^3+4x^2\right)=0\)

Với mọi \(y>0;z>0\)thì \(\left(y+z\right)^2\ge4yz\)thay \(x^2=2\left(y+z\right)\)\(\Rightarrow x^4\ge16yz\ge12yz\Rightarrow x^4-12yz\ge0\)

Với mọi x>0 thì \(x^4-12yz+2x^3+4x^2>0\)

Nên (*) \(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\)vì \(x>0\)nên \(x=2\)

Thay vào \(x^2=2\left(y+z\right)\)ta được \(y+z=2\)vì y;z nguyên dương nên \(y=1;z=1\)

Thay \(x=2;y=1;z=1\)ta thấy TMĐK đề bài nên nó là nghiệm duy nhất của bài toán.

Answer 2

[Cậu bé ngu ngơ]

bằng 1 nhé