a^4+b^4+c^4+d^4 >hoắc =4abcd
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HL
28 tháng 1 2018
Với a,b,c,d >0\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^4-2c^2d^2+d^4\right)+\left(2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(a^2b^2-2abcd+c^2d^2\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(ab-cd\right)^2=0\)
Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(c^2-d^2\right)^2\ge0\forall c,d\\\left(ab-cd\right)^2\ge0\forall a,b,c,d\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2=0\\c^2-d^2=0\\ab-cd=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\left(\text{đ}pcm\right)\)
TY
2
30 tháng 6 2015
giả sử a=b=c=d => \(a^4+a^4+a^4+a^4=4.a.a.a.a\Leftrightarrow4a^4=4a^4\)=> thỏa mãn điều kiện đầu bài
=> điểu giả sử đúng
AM
30 tháng 6 2015
Áp đụng BĐT co si ta có:
a4+b4>2a2b2
b4+c4>2b2c2
c4+d4>2c2d2
d4+a4>2a2d2
=>2(a4+b4+c4+d4)>2(a2b2+b2c2+c2d2+a2d2)
=>a4+b4+c4+d4>a2b2+b2c2+c2d2+a2d2(1)
Dấu"=" xảy ra <=>a=b=c=d
Tiếp tục ta có:
a2b2+c2d2>2abcd
b2c2+a2d2>2bcd
=>a2b2+b2c2+c2d2+a2d2>4abcd(2)
Từ 1 và 2 =>a4+b4+c4+d4>4abcd
Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=d
=>a4+b4+c4+d4=4abcd<=>a=b=c=d
H
15 tháng 1 2017
ta có:a^4+b^4>=2(ab)^2
c^4+b^4>=2(cd)^2
cộng hai vế lai ta có:
a^4+b^4+c^4+d^4>=2[(ab)^2+(cd)^2]
>=4abcd
Để a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd thì :
+) a^4+b^4=2(ab)^2
<->(a^2-b^2)^2=0-->a^2=b^2-->a=b(1)
+)c^4+b^4=2(cd)^2
<->(c^2-d^2)^2=0-->c^2-d^2=0-->c=d(2)
+)a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
<->a^4+c^4=2*(ac)^2
<->(a^2-c^2)^2=0-->a^2=c^2-->a=c(3)
từ (1)(2)(3)-->a=b=c=d(ĐPCM)
24 tháng 4 2017
ta có: \(4abcd=2abcd+2abcd\)
ta có:\(\left(ab-cd\right)^2+\left(ac-bd\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(ab\right)^2-2abcd+\left(cd\right)^2+\left(ac\right)^2-2abcd+\left(bd\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2\ge4abcd\left(1\right)\)
ta có:
\(\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a^2-c^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+\left(b^2-d^2\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow a^4-2\left(ab\right)^2+b^4+a^4-2\left(ac\right)^2+c^4+c^2-2\left(cd\right)^2+d^2+b^4-2\left(bd\right)^2+d^4\ge0\\ \Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge2\left(ab+ac+cd+bd\right)\\ \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge ab+ac+cd+bd\left(2\right)\)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
24 tháng 4 2017
Trần Thị Ngọc Trâm cái (2) với cái (1) chẳng thấy liên quan gì với nhau cả
H
0
TP
2
15 tháng 8 2016
Ta áp dụng Cauchy 2 số
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\cdot2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
Dấu = khi \(\begin{cases}a^4=b^4\\c^4=d^4\\a^2b^2=c^2d^2\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)
15 tháng 8 2016
Nhanh hơn có thể dùng Cauchy 4 số
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\cdot\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
Dấu = khi các biến bằng nhau
\(\Leftrightarrow a=b=c=d\)
VH
1
PD
0
LN
0
Áp dụng BĐT bunhiacopxki