Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn \(4x^2+3\left(y^2+z^2\right)+6xyz=4\)
CMR :\(2x+\sqrt{3}\left(y+z\right)\le3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 8 2021
\(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)=9\Rightarrow xy+yz+zx\ge3\)
\(2\left(x^2+y^2\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
Tương tự và nhân vế với vế:
\(VT\ge\dfrac{27}{64}\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\)
Mặt khác ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)
\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{64}.\dfrac{64}{81}.3\left(xy+yz+zx\right)^3\ge3^3=27\) (đpcm)
HT
0
30 tháng 1 2020
Theo đề bài ta có:
\(2\left(y^2+1\right)+6\ge\left(x^4+1\right)+\left(y^4+4\right)+\left(z^4+1\right)\ge2x^2+4y^2+2z^2\)
\(\Rightarrow0< x^2+y^2+z^2\le4\)
Đặt: \(t=x^2+y^2+z^2.Đkxđ:0< t\le4\)
Ta có: \(\sqrt{2}\left(x+y\right)y=\sqrt{2x}y+\sqrt{2z}y\le\frac{2x^2+y^2}{2}+\frac{2z^2+y^2}{2}=x^2+y^2+z^2\)
\(P\le x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2+y^2+z^2+1}=t+\frac{1}{t+1}=f\left(t\right)\)
Xét hàm: \(f\left(t\right)=t+\frac{1}{t+1}\) liên tục trên \(\left(0;4\right)\)
\(f'\left(t\right)=1-\frac{1}{\left(t+1\right)^2}>0\forall t\in\left\{0;4\right\}\)nên:
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên \(\left\{0;4\right\}\)
\(\Rightarrow P\le f\left(t\right)\le f\left(4\right)=\frac{21}{5}\forall t\in\left(0;4\right)\)
\(\Rightarrow P_{Min}=\frac{21}{5}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=z=1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)
Vậy ....................
30 tháng 1 2020
ミ★๖ۣۜBăηɠ ๖ۣۜBăηɠ ★彡
có cách nào không dùng hàm k ???
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 3 2021
Thay $x=\sqrt{\frac{1}{2,5}}; y=z=\sqrt{\frac{1}{0,25}}$ ta thấy đề sai bạn nhé!
KN
21 tháng 5 2020
Theo giả thiết: \(xyz=x+y+z+2\)
\(\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1\)\(=\left(xy+yz+zx\right)+2\left(x+y+z\right)+3\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+x+y+1\right)\left(z+1\right)\)\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\). Đặt \(a=\frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}\)
Khi đó a + b + c = 1 và \(x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}\);\(y=\frac{1-b}{b}=\frac{c+a}{b}\);\(z=\frac{1-c}{c}=\frac{a+b}{c}\)
Ta cần chứng minh \(x+y+z+6\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+6\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2-\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+y+z+3\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left[\left(x+1\right)+\left(y+1\right)+\left(z+1\right)\right]}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left[\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\right]\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\)\(\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\)
BĐT cuối hiển nhiên đúng vì đây là BĐT Bunyakovski do đó bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)hay x = y = z = 2
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
20 tháng 8 2023
Áp dụng BĐT Cauchy cho cặp số dương \(\dfrac{1}{\left(z+x\right)};\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\)
\(\dfrac{1}{\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\left(1\right)\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\le\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}\left(2\right)\)
\(\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\) ta được :
\(P=\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}+\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}+\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\)
\(\Rightarrow P\le2\left(x+y+z\right)=2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(P\right)=6\left(tạix=y=z=1\right)\)
Khó wá bạn ơi mk chịu
Mk mới chỉ học lớp 5 thôi
Ai đồng ý thì
Arigatouuuuuuuuuuuuu
Mình mới học lớp 5 à xin lỗi vì không giúp được cậu