Chứng minh phương trình \(sin^3x+sinx-1=0\) có ít nhất 1 nghiệm.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 12 2020
\(\Leftrightarrow2\left(cos^2x-sin^2x\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2cosx-2sinx\right)\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(\text{vô nghiệm trên đoạn xét}\right)\\2cosx-2sinx+sinx.cosx=m\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), đặt \(t=cosx-sinx=\sqrt{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\in\left[-1;1\right]\\sinx.cosx=\dfrac{1-t^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2t+\dfrac{1-t^2}{2}=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+\dfrac{1}{2}\) trên \(\left[-1;1\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=2\notin\left[-1;1\right]\) ; \(f\left(-1\right)=-2\) ; \(f\left(1\right)=2\)
\(\Rightarrow-2\le f\left(t\right)\le2\Rightarrow-2\le m\le2\)
PT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 3 2023
Đặt \(f\left(x\right)=3x^4-3x^3-5x^2+2x+2\)
Hiển nhiên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R cũng như mọi khoảng con của nó
\(f\left(-1\right)=1>0\)
\(f\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{25}{256}< 0\)
\(f\left(0\right)=2>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right).f\left(-\dfrac{3}{4}\right)< 0\\f\left(-\dfrac{3}{4}\right).f\left(0\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;0) nên có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;1)
PT
1
CM
10 tháng 8 2017
Xét hàm số f ( x ) = x 5 − 5 x – 1 trên các đoạn [−2; −1], [−1; 0], [0; 3]
PT
1
CM
1 tháng 1 2019
Đặt f(x) = 2x3 – 6x + 1
TXĐ: D = R
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Ta có: f(-2) = 2.(-2)3 – 6(-2) + 1 = - 3 < 0
f(0) = 1 > 0
f(1) = 2.13 – 6.1 + 1 = -3 < 0.
⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0
⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; 1)
⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
PL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2023
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2-m+1\right)x^4-3x^3-1\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(f\left(3\right)=81\left(m^2-m+1\right)-55=81\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{23}{4}>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(3\right)< 0\Rightarrow\) pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;3\right)\)
\(f\left(-1\right)=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow\) pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\)
\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 2 nghiệm thuộc \(\left(-1;3\right)\Rightarrow\) có ít nhất 2 nghiệm trên \(\left(-5;5\right)\)
Đặt \(f\left(x\right)=sin^3x+sinx-1\)
Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
Ta có: \(f\left(0\right)=-1\) ; \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình \(f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) (đpcm)