Bài 1: Chứng minh rằng
\(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2=b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 12 2017
\(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2=\)\(b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2-b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2=0\)
Đặt:
\(\begin{cases}a+b-c=x\\b+c-a=y\\a+c-b=z\end{cases}\)\(\hept{\Leftrightarrow\begin{cases}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+z}{2}\left(\frac{x+y}{2}-\frac{y+z}{2}\right)y^2+\frac{y+z}{2}\left(\frac{x+z}{2}-\frac{x+y}{2}\right)x^2-\frac{x+y}{2}\left(\frac{x+z}{2}-\frac{y+z}{2}\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{2}\times\frac{x-z}{2}\times y^2+\frac{z+y}{2}\times\frac{z-y}{2}\times x^2-\frac{x+y}{2}\times\frac{x-y}{2}\times z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(x+z\right)\left(x-z\right)y^2+\frac{1}{4}\left(z+y\right)\left(z-y\right)x^2-\frac{1}{4}\left(x+y\right)\left(x-y\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left[\left(x^2-z^2\right)y^2+\left(z^2-y^2\right)x^2\right]-\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(x^2y^2-z^2y^2+x^2z^2-x^2y^2\right)-\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2-\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2=0\)
Vậy \(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2=\)\(b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2\)
13 tháng 1 2018
vế trái
(a+b)(b+c)(c+a)+4abc
=(ab+ac+b2+bc)(c+a)+4abc
=abc+ac2+b2c+bc2+a2b+a2c+abc+4abc
=(a2c+2abc+b2c)+(ab2+2abc+ac2)+(ba2+2abc+bc2)
=c(a2+2ab+b2)+a(b2+2bc+c2)+b(a2+2ac+c2)
=c(a+b)2+a(b+c)2+b(a+c)2 (đpcm)
M
2 tháng 9 2023
Để chứng minh bất đẳng thức (a^2 + b^2 + c^2)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] ≥ 9/2, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chứng minh định lý hình học.
Giả sử a, b, c là các số thực và (a, b, c) không phải là (0, 0, 0). Ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng:
(a^2 + b^2 + c^2)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] - 9/2 ≥ 0
Mở rộng và rút gọn biểu thức ta có:
2a^4 + 2b^4 + 2c^4 + 4a^2b^2 + 4b^2c^2 + 4c^2a^2 - 2a^3b - 2ab^3 - 2b^3c - 2bc^3 - 2c^3a - 2ca^3 - 9/2 ≥ 0
Đặt x = a^2, y = b^2, z = c^2, ta có:
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xy + 4yz + 4zx - 2x^(3/2)√y - 2x√y^(3/2) - 2y^(3/2)√z - 2yz^(3/2) - 2z^(3/2)√x - 2zx^(3/2) - 9/2 ≥ 0
Đặt t = √x, u = √y, v = √z, ta có:
2t^4 + 2u^4 + 2v^4 + 4t^2u^2 + 4u^2v^2 + 4v^2t^2 - 2t^3u - 2tu^3 - 2u^3v - 2uv^3 - 2v^3t - 2vt^3 - 9/2 ≥ 0
Nhận thấy rằng biểu thức trên có thể viết dưới dạng tổng của các bình phương:
(t^2 + u^2 + v^2 - tu - uv - vt)^2 + (t^2 - u^2)^2 + (u^2 - v^2)^2 + (v^2 - t^2)^2 ≥ 0
Vì mọi số thực bình phương đều không âm, nên bất đẳng thức trên luôn đúng. Từ đó, ta có chứng minh rằng (a^2 + b^2 + c^2)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] ≥ 9/2.
Đặt a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z
=>\(a=\frac{x+z}{2};b=\frac{x+y}{2};c=\frac{y+z}{2}\)
Cần Cm: a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2-b(a-c)(a+c-b)2=0
=> \(\frac{x+z}{2}\left(\frac{x+y}{2}-\frac{y+z}{2}\right)^2\cdot y^2+\frac{y+z}{2}\left(\frac{x+z}{2}-\frac{x+y}{2}\right)\cdot x^2-\frac{y+x}{2}\cdot\left(\frac{z+y}{2}-\frac{z+x}{2}\right)^2\cdot z^2=0\)
=>\(\frac{1}{4}\left(x^2-z^2\right)\cdot y^2+\frac{1}{4}\cdot\left(z^2-y^2\right)\cdot x^2-\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)\cdot z^2=0\)(luôn đúng)
=> đpcm