Question

[Mon211]

cho tam giác ABC các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. cm:

a) AD< (AB+AC)/2

b) BE+CF<3/2 BC

Answer 1

[Jin Air]

a/ trên tia đối tia DA là R sao cho DA=DR

Xét tam giác ADB và tam giác RDC:

BD=DC(gt)

AD=DR(gt)

ADB=CDR( đối đỉnh)

Do đó tam giác... = tam giác ....(c.g.c)

=> RC=AB (cặp cạnh tương ứng)

Xét tam giác ACR: AR<AC+RC (định lí Bất đẳng thức tam giác)

AR<AC+AB

AR=AD+DR. AD=DR => AR=2.AD

2.AD<AC+AB

AD<(AC+AB)/2 (đpcm)

b/ Gọi giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác ABC tức trọng tâm là G

=> BG=2/3 BE

=> CG=2/3 CF

Xét tam giác GBC: BG+GC>BC (đính lí bất đẳng thức tam giác)

hay 2/3BE + 2/3CF >BC

2/3 (BE+CF) > BC

=> BE+CF > 3/2 BC (đpcm)

bạn xem lại đề nhé. chắc chắn BE + CF < 3/2 BC

Answer 2

[Nguyễn Tùng Dương]

trên tia đối của ad lấy o sao cho da=do

ta có tam giác adb = tam giác cdo 

vì ad=ao

bd= dc

db=cdo đối đỉnh

suy ra ab= co

á dụng bất đẳng thức tam giác ta có

ac + co > ab

hay ac + ab > 2 ad

hay ac+ ab /2 >bd

2 gọi giao be và cf là i 

ta có bi + ci > bc

hay 2/3 ( be + cf > bc

hay be + cf > 3/2 bc