Question

[Le vi dai]

Cho tam giác ABC nhọn , các đường cao \(AA',BB',CC'\), H là trực tâm . 

a, tính tổng \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

b, gọi AI là phân giác của tam giác ABC ; IM,IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. C/M : AN.BI.CM=BN.IC.AM

c, tam giác ABC như thế nào thì biểu thức \(\frac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\)đạt GTNN

Answer 1

[Bảo Châu Ngô]

. vẽ Cx vuông góc với CC' tại C

. Vẽ D là điểm đối xứng của A qua Cx, cắt Cx tại E

.Xét\(\Delta ACD\) có: CE vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên \(\Delta ACD\) cân tại C => AC = CD

. Ta có tứ giác AECC' là hình chữ nhật ( Có 3 góc bằng 90 độ)

. => \(CC'=AE=\frac{1}{2}AD\) 

. Xét ba điểm B, C, D, ta có: \(BD\le BC+CD\)

. Áp dụng Đl Pitago vào tam giác vuông ABD, có:

. \(AB^2+AD^2=BD^2\) => \(AB^2+\left(2CC'^2\right)\le\left(BC+CD\right)^2\) 

. <=>\(AB^2+4CC'^2\le\left(BC+AC\right)^2\) 

. <=> \(4CC'^2\le\left(BC+AC\right)^2-AB^2\) \(\left(1\right)\)

. C/m tương tự, ta có: \(4BB'\le\left(AB+BC\right)^2-AC^2\) \(\left(2\right)\)

. \(4AA'\le\left(AB+AC\right)^2-BC^2\) \(\left(3\right)\)

. Từ \(\left(1\right)\) , \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra: \(4\left(AA'^2+BB'^2+CC'^2\right)\le\left(AB+BC+AC\right)^2\) (Phân tích mấy cái trên kia là ra)

. Suy ra: \(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\)

. Vậy GTNN của \(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\) là 4 khi AB=BC=AC hay tam giác ABC đều

Answer 2

[Le vi dai]

các bn vẽ hình cho mk luôn nha!