Chứng minh x/y + y/x >= 2 ( với x,y>0)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
GK
0
SM
2
NK
25 tháng 1 2016
a, x - y > 0
=> x - y + y > 0 + y
=> x > y (ĐPCM)
b, x > y
=> x - y > y - y
=> x - y > 0 (ĐPCM)
TC
0
3 tháng 7 2017
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
3 tháng 7 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
29 tháng 8 2017
Ta có : x2 + 2x + 2
= x2 + 2x + 1 + 1
= (x + 1)2 + 1 \(\ge1\forall x\)
Vậy x2 + 2x + 2 \(>0\forall x\)
RG
3 tháng 9 2018
Ta có : x2 + 2x + 2
=> x2 + 2x + 1 + 1
=> ( x + 1)2 + 1 > 1\(\forall x\)
Vậy x2 + 2x + 2 > \(0\forall x\)
DV
1
27 tháng 3 2019
Với \(x,y>0\). Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^4+y^2\ge2x^2y\)
\(\Rightarrow x^4+y^2+2xy^2\ge2x^2y+2xy^2=2xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^4+y^2+2xy^2}\le\frac{1}{2xy\left(x+y\right)}\)(đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 6 2019
BĐT Vasc cơ bản:
Cho các số dương \(abc=1\) thì:
\(\sum\frac{1}{a^2+a+1}\ge1\)
Chứng minh:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{yz}{x^2}\\b=\frac{xz}{y^2}\\c=\frac{xy}{z^2}\end{matrix}\right.\) thì BĐT trở thành:
\(\sum\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\ge1\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2yz+y^2xz+z^2xy+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\ge1\)
Nhân chéo và thực hiện khai triển:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)
Sau đó rút gọn ta được:
\(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge x^2yz+y^2xz+z^2xy\)
BĐT trên chính là dạng \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Vậy BĐT đã được chứng minh xong
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 4 2020
Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{ln\left(a^t+b^t\right)}{t}\) với \(t>0\)
\(f'\left(t\right)=\frac{t.\frac{a^t.lna+b^t.lnb}{a^t+b^t}-ln\left(a^t+b^t\right)}{t^2}=\frac{a^tlna^t-a^tln\left(a^t+b^t\right)+b^tlnb^t-b^tln\left(a^t+b^t\right)}{\left(a^t+b^t\right)t^2}\)
\(=\frac{a^t.\left(lna^t-ln\left(a^t+b^t\right)\right)+b^t\left(lnb^t-ln\left(a^t+b^t\right)\right)}{\left(a^t+b^t\right)t^2}< 0\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) nghịch biến \(\Leftrightarrow f\left(x\right)< f\left(y\right)\Leftrightarrow x>y>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ln\left(a^x+b^x\right)}{x}< \frac{ln\left(a^y+b^y\right)}{y}\)
\(\Leftrightarrow y.ln\left(a^x+b^x\right)< x.ln\left(a^y+b^y\right)\)
\(\Leftrightarrow ln\left(a^x+b^x\right)^y< ln\left(a^y+b^y\right)^x\)
\(\Leftrightarrow\left(a^x+b^x\right)^y< \left(a^y+b^y\right)^x\)
x/y + y/x>=2
<=> (x2+ y2)/xy>=2
<=> x2+y2>=2xy
<=> x2 - 2xy + y2>=0
<=> (x-y)2>=0
xảy ra (x-y)2=0 khi x=y
bajn có biết bđt cauchuy ko