Cho tam giác ABC vuông tại A cố định, có AB=3, AC=4. Một điểm M bất kì nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. GTNN của \(\sqrt{2}.MA+MB+MC\) cho mình biết cách làm luôn nha
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AB
5 tháng 4 2016
Cho tam giác vuông tại A cố định, có AB=3, AC=4.Một điểm M bất kì trong mặt phẳng chứa tam giác ABC.Tính giá trị nhỏ nhất của căn2.MA +MB+MC=7
9 tháng 9 2019
Gọi \(I\)là giao điểm của \(BC\)và \(AM\)còn \(H\)và \(K\)theo thứ tự là hình chiếu của \(B\)và \(C\)trên \(AM\)
Ta có: \(BI\ge BH\)và \(CI\ge CH\)( quan hệ đường xiên - đường vuông góc )
Đẳng thức xảy ra khi \(AM\perp BC\)
Suy ra:
\(MA.BC=MA.\left(BI+BC\right)\ge MA.\left(BH+CK\right)\)
\(\Leftrightarrow MA.BC\ge MA.BH+MA.CK\)
\(\Leftrightarrow MA.BC\ge2S_{MAB}+2S_{MCA}\) \(\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\Leftrightarrow MA.BC\ge2S_{MAB}+2S_{MCA}\) \(\left(2\right)\)
( Đẳng thức xảy ra khi \(MB\perp CA\))
\(MC.AB\ge2S_{MCA}+2S_{MBC}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế với ba bất đẳng thức \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\)ta được:
\(MA.BC+MB.CA+MC.AB\ge4.\left(S_{MAB}+S_{MCA}+S_{ABC}\right)\)
Đặt \(S=S_{ABC}\)thì \(S\)không đổi và \(T\ge4S\)
Vậy: \(T_{min}=4S\)khi \(M\)là trực tâm \(\Delta ABC\)
13 tháng 9 2019
Dựng hình bình hành AMBN. Lúc đó \(MA.BC=BN.BC\ge2S_{BCN};MB.CA\ge2S_{CAN}\)
Suy ra \(MA.BC+MB.CA\ge2\left(S_{BCN}+S_{CAN}\right)=2\left(S_{ABC}+S_{AMB}\right)\) (Vì tứ giác AMBN là hình bình hành)
Tương tự: \(MB.CA+MC.AB\ge2\left(S_{ABC}+S_{BMC}\right);MC.AB+MA.BC\ge2\left(S_{ABC}+S_{CMA}\right)\)
Do vậy \(2\left(MA.BC+MB.CA+MC.AB\right)\ge2\left(3S_{ABC}+S_{AMB}+S_{BMC}+S_{CMA}\right)=8S_{ABC}\)
Suy ra \(2T\ge8S_{ABC}\Rightarrow T\ge4S_{ABC}.\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi BN vuông góc BC, AN vuông góc AC <=> M là trực tâm \(\Delta\)ABC.
Để căn2.MA+MB+MC nhỏ nhất thì MA+MB+MC nhỏ nhất
Để MA+MB+MC nhỏ nhất thì A trùng với M.Khi đó căn2.MA+MC+MB=7
Cảm ơn bạn