cho x,y,z là các số >=1 CMR:
1/(1+x^2) + 1/(1+y^2) + 1/(1+z^2) >= 3/(1+xyz)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 11 2019
Từ giả thiết , ta có :
\(xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\left(1\right)\)
\(\Rightarrow1=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức sau : \(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\) ta có :
\(1=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)\le\left(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow3\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3\)
\(\Rightarrow6\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow6xyz\le xy+yz+zx\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra:
\(3-3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+zx\right)=6xyz\le xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow0\ge3-3\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\)
Cộng 2 vế của bất đẳng thức trên cho \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\)ta được:
\(x^2+y^2+z^2\ge\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z+3\right)=\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
10 tháng 11 2019
ta có:
xyz=(1-x).(1-y).(1-z) (1)
=>1=(1:x-1).(1:y-1).(1:z-1)
VT
21 tháng 10 2019
Nhân cả 2 vế với xyz bất đẳng thức sẽ thành yz+ xz+xy+yz\(\sqrt{1+x^2}\)+xz\(\sqrt{1+y^2}+xy\sqrt{1+z^2}\le x^2y^2z^2\)
Ta có yz\(\sqrt{1+x^2}=\sqrt{yz}.\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz}.\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\)\(\sqrt{yz}.\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)\(\le\)\(yz+\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4}\)(2ab\(\le a^2+b^2\))
làm tương tự ta được xz\(\sqrt{1+x^2}\le xz+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{4};xy\sqrt{1+z^2}\le xy+\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{4}.\)
vế trái \(\le\) 2(xy+yz+zx) + \(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+x\right)\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4}\)\(\le2.\frac{1}{3}.\left(x+y+z\right)^2+\frac{\frac{1}{3}\left(x+y+y+z+z+x\right)^2}{4}=\left(x+y+z\right)^2=x^2y^2z^2.\)
[ (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 \(\ge0\)<=>\(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\) áp dụng vào trên)
dấu '=' xảy ra khi x=y=z \(\sqrt{3}\)
LS
3
26 tháng 8 2018
Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zy\right)=x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{xyz}+\frac{yz}{xyz}+\frac{zx}{xyz}=0\)( Chia 2 vế cho xyz )
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)
Ta lại có : \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^3-\left(\frac{3}{x^2y}+\frac{3}{xy^2}\right)+\frac{1}{z^3}\)
\(=\left(-\frac{1}{z}\right)^3-\frac{3}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{1}{z^3}\)
\(=-\frac{3}{xy}\cdot-\frac{1}{z}\)\(=\frac{3}{xyz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\) ( đpcm )
27 tháng 8 2018
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
Ta lại co:
\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}-\frac{3}{xyz}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{1}{xy}-\frac{1}{yz}-\frac{1}{zx}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
T
17 tháng 1 2021
Lần sau bạn chú ý dùng chức năng Gõ công thức trực quan để người đọc dễ hiểu để bài nhé. Không hiểu không ai giúp bạn đâu.
Câu hỏi đã được hỏi nhiều lần, có thể xem tại: Cho x,y,z >0 t/m x y z=xyz. C/m \(\dfrac{1 \sqrt{1 x^2}}{x} \dfrac{1 \sqrt{1 y^2}}{y} \dfrac{1 \sqrt{1 z^2}}{z}\le xyz\) - Hoc24
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 9 2020
Đặt \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)
Đặt vế trái là P \(\Rightarrow P=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)
Ta có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)
\(P\le\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(P\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)
HN
Cho x, y, z > 0 và xyz=1. CMR :
\(\dfrac{x^2}{1+y}+\dfrac{y^2}{1+z}+\dfrac{z^2}{1+z}\ge\dfrac{3}{2}\)
1
MH
26 tháng 4 2023
Đề sai nhé, \(\dfrac{z^2}{x+1}\) mới đúng nha
\(\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}\left(\text{Svácxơ}\right)\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\Rightarrow x+y+z+3\le2\left(x+y+z\right)\)
TV
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{1+y+1+z+1+x}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\)
Do đó:
\(\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+3}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
P/s: Bạn chú ý lần sau gõ tiêu đề bằng công thức toán !!!
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
23 tháng 2 2021
\(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{yz}\\x-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}\\y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)=\frac{\left(y-z\right)\left(y-x\right)\left(z-x\right)}{\left(xyz\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left(xyz\right)^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xyz=1\\xyz=-1\end{cases}}\).
Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Vơi x.y >= 0 ta có \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) (*)
Thật vậy: (*) <=> \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y.\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right).x\left(1+y^2\right)-\left(y-x\right).y\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right).\left(x\left(1+y^2\right)-y\left(1+x^2\right)\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)\left(xy\left(y-x\right)-\left(y-x\right)\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
Luôn đúng vì: x; y > = 1 nên tích x.y > = 1 ....
Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{1+xz}\)
\(\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+yz}\)
=> \(2.\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\right)\ge2.\left(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{xz}\right)\ge2.\left(\frac{1}{1+xyz}+\frac{1}{1+xyz}+\frac{1}{xyz}\right)\)
Vì xy x; y ; z > = 1 nên x.y .z > = x.y ; y.z; z.x
=> \(\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\right)\ge\frac{3}{1+xyz}\)