cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác
chứng minh \(1<\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}<2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 8 2016
Ta có : a+b > c , b+c > a , c+a > b
Xét : \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+a}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}\)
Tương tự , ta cũng có : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c}\)
Vậy ta có đpcm
Chú ý : a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác chứ không phải a+b,b+c,c+a nhé :)
16 tháng 10 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương a, b, c
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ; \(b+c\ge2\sqrt{bc}\); \(c+a\ge\sqrt{ca}\)
Nhân các vế của BĐT \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c => tam giác đó đều
ML
10 tháng 8 2015
Do a,b,c là 3 cạnh là 3 cạnh tam giác =>a,b,c>0
Áp dụng BĐT co si cho 2 số dương ta có:
a+b\(\ge2\sqrt{ab}\)
b+c\(\ge2\sqrt{bc}\)
a+c\(\ge2\sqrt{ac}\)
=>(a+b)(b+c)(c+a)>\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)
Dấu bằng xảy ra <=>a=b b=c c=a=>a=b=c
Mà theo đề bài (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
=>a=b=c=>tam giác đó là tam giác đều
PT
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn (1+b/a)(1+c/b)(1+a/c)=8.Chứng minh tam giác đó đều
1
SV
23 tháng 2 2015
\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
Ta có (a +b)2 >=4ab với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> a = b
(b+c)2 >=4bc, với mọi b,c >0. Dấu = xảy ra <=> b = c
(c+a)2 >=4ca, với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> c = a
=> (a+b)2(b+c)2(c+a)2 >=64a2b2c2 (a,b,c >0)
=> (a+b)(b+c)(c+a) >=8abc => (a+b)(b+c)(c+a)/abc >=8
Dấu = xảy ra <=> a = b = c <=> Tam giác đều
12 tháng 6 2020
Bạn xem lại đề nhé!
Mình chứng minh lỗi sai của bạn:
a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác vuông với c là cạnh huyền
=> \(a^2+b^2=c^2\Leftrightarrow\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1\)
Mà \(a< c;b< c\Rightarrow\frac{a}{c}< 1;\frac{b}{c}< 1\)
=> \(\left(\frac{a}{c}\right)^{2020}< \left(\frac{a}{c}\right)^2;\left(\frac{b}{c}\right)^{2020}< \left(\frac{b}{c}\right)^2\)
=> \(\left(\frac{a}{c}\right)^{2020}+\left(\frac{b}{c}\right)^{2020}< \left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1\)
=> \(a^{2020}+b^{2020}< c^{2020}\)
Bạn vẫn nên xem lại đề nha!
HT
3
7 tháng 5 2015
Nhận xét : \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng từng vế => \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
+) Lại có: a;b; c là 3 cạnh của tam giác nên a < b+ c; b < a+ c; c< a+ b
=> \(\frac{a}{b+c}
21 tháng 9 2019
GIẢI
Giả sử : \(a\ge b\ge c>0\) thì \(a+b\ge a+c\ge b+c\)
Ta có : \(\frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}\le\frac{b}{b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}\le\frac{c}{b+c}\)
Cộng vế theo vế ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a+b+c}{b+c}\)
Hay : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a}{b+c}+1< 1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}< 2\)
Chúc bạn học tốt !!!
21 tháng 9 2019
GIẢI
Giả sử : a\ge b\ge c>0a≥b≥c>0 thì a+b\ge a+c\ge b+ca+b≥a+c≥b+c
Ta có : \frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}b+ca=b+ca
\frac{b}{c+a}\le\frac{b}{b+c}c+ab≤b+cb
\frac{c}{a+b}\le\frac{c}{b+c}a+bc≤b+cc
Cộng vế theo vế ta được :
\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a+b+c}{b+c}b+ca+c+ab+c+bc≤b+ca+b+c
Hay : \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a}{b+c}+1< 1+1=2b+ca+c+ab+c+bc≤b+ca+1<1+1=2
Vậy \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}< 2b+ca+c+ab+c+bc<2
BA
5 tháng 11 2019
\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{abc}=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}=64\)
Ta có
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(c+b\right)^2\ge4cb;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}\ge64\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)=> Đó là tam giác đều
7 tháng 11 2019
Ta có: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{c}=8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2+2abc=8abc\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2-6abc=0\)
\(\Rightarrow\left(ab^2-2abc+ac^2\right)+\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(b^2-2bc+c^2\right)+b\left(a^2-2ac+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)(1)
Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 (2)
Do đó \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b-c\right)^2\ge0\\b\left(a-c\right)^2\ge0\\c\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\)(3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\left(b-c\right)^2=\left(a-c\right)^2=\left(a-b\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right)=\left(a-c\right)=\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác đều