Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết:
A=\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 6 2021
có: \(\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\dfrac{1}{1-2xy}\)(1)
có \(\dfrac{1}{xy}=\dfrac{2}{2xy}\left(2\right)\)
từ(1)(2)=>A=\(\dfrac{1}{1-2xy}+\dfrac{2}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)
=>Min A=(1+\(\sqrt{2}\))^2
TN
5 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{4xy}+\frac{1}{4xy}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{4\cdot\frac{1}{4}}=4+1=5\)
Xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
15 tháng 5 2018
\(\frac{1}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\)
\(\Leftrightarrow xy\ge4\)
\(\Rightarrow A=xy+2017\ge4+2017=2021\)
LM
2
18 tháng 12 2016
Lời giải phía trên sai rồi. Biểu thức (mình đặt là A) sẽ bằng \(\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)
Ta biển đổi \(A=\frac{1}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{3}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}\)
Thực hiện BĐT Cauchy 2 lượng đầu, lượng cuối cùng dùng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\)
Vậy giá trị nhỏ nhất là \(\frac{5}{2}\)
13 tháng 10 2017
Ta có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow4xy\le1\)
\(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{1}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+1=\frac{4}{1}+1=5\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
13 tháng 10 2017
Áp dụng BĐT AM - MG ta có :
\(xy\)\(\le\)\(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)\(=\)\(\frac{1}{4}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engel :
\(S\)\(=\)\(\frac{1}{x^2+y^2}\)\(-\)\(\frac{3}{4xy}\)\(=\)\(\frac{1}{x^2+y^2}\)\(-\)\(\frac{2}{4xy}\)\(-\)\(\frac{1}{4xy}\)
\(=\)\(\frac{1}{x^2+y^2}\)\(-\)\(\frac{1}{2xy}\)\(-\)\(\frac{1}{4xy}\)\(\ge\)\(\frac{\left(1-1\right)^2}{x^2-y^2-2xy}\)\(-\)\(\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\)\(\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}\)\(-\)\(\frac{1}{4.\frac{1}{4}}\)\(=\)\(4\)\(-\)\(1\)\(=\)\(5\)
Xảy ra khi \(x\)\(=\)\(y\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)
5 tháng 12 2018
ĐK: x khác 0
Từ\(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
\(\Rightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}+x^2+xy+\frac{y^2}{4}=6+xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x+\frac{y}{2}\right)^2=6+xy\)
Do VT > 0\(\Rightarrow6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 + 6 = 2022
29 tháng 1 2019
tth : Viết nhầm :V
Đoạn cuối \(6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge-6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 - 6 = 2010 !!!
Được rồi chứ gì -.-
24 tháng 2 2018
dự đoán của chúa Pain x=y=1
áp dụng BDT cô si ta có
\(A\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y+1\right)^2.\left(xy+x+y\right)}{\left(xy+x+y\right)\left(x+y+1\right)^2}}=2.\)
dấu = xảy ra khi
\(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\) :)
A = [1/(x^2 + y^2) + 1/2xy ] + (1/4xy + 4xy) + 5/4xy
Dễ thấy 1/(x^2 + y^2) + 1/2xy >= 4/(x+y)^2 >= 4
1/4xy + 4xy >= 2.căn (1/4xy .4xy) = 2
5/4xy >= 5 ( vì xy <= (x+y)^2/4 <= 1/4 )
Vậy A >= 4 + 2 + 5
hay GTNN của A là 11
Dấu = xảy ra khi cả 3 dấu = trên cùng xảy ra <=> x = y = 1/2