Tìm đa thức bậc hai biết f(x)-f(x-1)=x. từ đó áp dụng tính tổng S= 1+2+3+...+n?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
0
1A
0
NH
0
WR
4
KY
4
CD
2
28 tháng 2 2020
ừmmmmmmm......bài cô giảng rùi đó ông tướng ạ!!!! giở lại xem đi.......
Giả sử f(x)=ax^2+bx+c (do đề bài cho là đa thức bậc hai)
Suy ra
f(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+b
Mà f(x)−f(x−1)=x
⇒2ax+a+b=x
Do đó a+b=0 và a=1/2 từ đó ta suy ra a=1/2;b=−1/2
Do đó f(x)=\(\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+c\)
f(n)=1+2+3+...+n
Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì:
f(1)−f(0)=1
f(2)−f(1)=2
....
f(n)−f(n−1)=n
Do đó
1+2+...+n=f(1)−f(0)+f(2)−f(1)+...+f(n)−f(n−1)=f(n)−f(0)=\(\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2}\)=n(n−1)2
29 tháng 2 2020
Ta có:\(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\)
Gọi đa thức bậc hai có dạng \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
\(\implies\)\(f\left(x-1\right)=a.\left(x-1\right)^2+b.\left(x-1\right)+c\)
\(\implies\) \(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=\left(ax^2+bx+c\right)-\left(a.\left(x-1\right)^2+b.\left(x-1\right)+c\right)\)
\(=\left(ax^2+bx+c\right)-\left(ax^2-2ax+a+bx-b+c\right)\)
\(=ax^2+bx+c-ax^2+2ax-a-bx+b-c\)
\(=2ax-a+b\)
Theo bài ra ta có:\(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\)
\(\implies\) \(2ax+\left(-a+b\right)=x\)
Đồng nhất các hệ số ta được :\(\hept{\begin{cases}2a=1\\-a+b=0\end{cases}}\) \(\implies\) \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Vậy đa thức bậc hai có dạng :
\(f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+c\)
\(\implies\) \(f\left(x\right)=\frac{x.\left(x+1\right)}{2}+c\)
Vận dụng: \(S=1+2+3+...+n\)
Ta có :\(f\left(1\right)-f\left(0\right)=1\)
\(f\left(2\right)-f\left(1\right)=2\)
\(f\left(3\right)-f\left(2\right)=3\)
.......................
\(f\left(n\right)-f\left(n-1\right)=n\)
\(\implies\) \(f\left(1\right)-f\left(0\right)+f\left(2\right)-f\left(1\right)+f\left(3\right)-f\left(2\right)+....+f\left(n\right)-f\left(n-1\right)=1+2+3+...+n\)
\(\implies\) \(f\left(n\right)-f\left(0\right)=S\)
\(\implies\) \(\left(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}+c\right)-\left(\frac{0.\left(0+1\right)}{2}+c\right)=S\)
\(\implies\) \(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}+c-0-c=S\)
\(\implies\) \(S=\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\)
HH
3
LN
27 tháng 8 2017
xét f(x)=ax^2 cộg bx cộg c
f(x)-f(x-1)=x
<=>2ax-(a-b)=x
vì phân tích trên là duy nhất suy ra a=b=1/2
nên f(x)=(x^2 cộng x)/2 cộg c (c là hằg số)
cho x=0,1,2,...n rồi cộng lại ta đc:
f(n)-f(0)=1 cộng 2 cộng...cộg n
<=>(x^2 cộg x)/2=1 cộg 2 cộg...cộng n.