Question

[Lê Song Phương]

Cho đường tròn (O;r) và điểm M nằm ngoài đường tròn, biết khoảng cách từ M đến O là d. Kẻ cát tuyến MAB với đường tròn. Gọi C là điểm đối xứng với A qua M. D là trung điểm của đoạn BC. Hãy so sánh BD với \(\left(d-r\right)\left(d+r\right)\)

Answer 1

[Lê Song Phương]

Xin lỗi các bạn. Đề bài đúng phải là so sánh BD với \(\sqrt{\left(d-r\right)\left(d+r\right)}\)

Answer 2

[Nguyễn Nam Dương]

Gọi E là trung điểm AB \(\Rightarrow OE\perp AB\)

Do D là trung điểm BC \(\Rightarrow BD=\dfrac{1}{2}BC\) (1)

Do C đối xứng A qua M \(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}AC\)

Do E là trung điểm AB \(\Rightarrow AE=\dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow AM+AE=\dfrac{1}{2}AC+\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow ME=\dfrac{1}{2}BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BD=ME\)

Trong tam giác vuông OAE, do OA là cạnh huyền và OE là cạnh góc vuông \(\Rightarrow OE< OA\Rightarrow OE< r\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(ME^2=OM^2-OE^2=d^2-OE^2>d^2-r^2\)

\(\Rightarrow BD^2>d^2-r^2\Rightarrow BD>\sqrt{\left(d-r\right)\left(d+r\right)}\)