Cho dãy số được xác định như sau:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\sqrt{1+2u_nu_{n+1}}\end{matrix}\right.\) \(\forall n\in N^{\cdot}\)
XD CTSHTQ \(u_n\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 11 2021
Dãy đã cho hiển nhiên là dãy dương
Ta sẽ chứng minh dãy đã cho bị chặn trên bởi 2 hay \(u_n\le2\) với mọi n
- Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (đúng)
- Giả sử điều đó đúng với \(n=k\ge1\) hay \(u_k\le2\)
- Ta cần chứng minh với \(n=k+1\) cũng đúng
Hay \(u_{k+1}\le2\)
Ta có: \(u_{k+1}=\sqrt{2+u_k}\le\sqrt{2+2}=2\) (đpcm)
Vậy \(u_n\le2\)
Đặt \(v_n=\dfrac{1}{2}u_n\Rightarrow0< v_n\le1\) và \(\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\2v_{n+1}=\sqrt{2+2v_n}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4v_{n+1}^2=2+2v_n\Rightarrow v_n=2v_{n+1}^2-1\)
Do \(0< v_n\le1\) , đặt \(v_n=cos\left(x_n\right)\) với \(x_n\in\left(0;\pi\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{\pi}{4}\\cos\left(x_n\right)=2cos^2\left(x_{n+1}\right)-1=cos\left(2x_{n+1}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n=2x_{n+1}\Rightarrow x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n\)
\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x_n=\dfrac{\pi}{4}.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\)
\(\Rightarrow v_n=cos\left(x_n\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow u_n=2v_n=2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\)
Dãy \(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\) giảm và thuộc \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) nên \(cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\) tăng
Do đó dãy số đã cho là dãy tăng.
P/s: đây là cách làm hoàn chỉnh có thứ tự (nhược điểm là rất dài). Có 1 cách khác đơn giản hơn là bằng 1 phép màu nào đó ngay từ đầu bạn đưa ra ngay dự đoán công thức tổng quát của dãy số là \(2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\) rồi chứng minh nó bằng quy nạp cũng được. Như vậy sẽ rất ngắn, cả bài chỉ 4-5 dòng nhưng lời giải hơi đột ngột
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2021
Đặt \(v_n=u_n^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=2851\\v_{n+1}=v_n+n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=2851\\v_{n+1}-\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)=v_n-\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n\end{matrix}\right.\)
Đặt \(v_n-\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2851\\x_{n+1}=x_n=...=x_1=2851\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{2}n+2851\)
\(\Rightarrow u_n=\sqrt{\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{2}n+2851}\Rightarrow u_{2020}=1429\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 2 2021
Từ công thức truy hồi ta được:
\(u_n=sin1+\dfrac{sin2}{2^2}+\dfrac{sin3}{3^2}+...+\dfrac{sinn}{n^2}\)
\(\Rightarrow\left|u_n\right|=\left|sin1+\dfrac{sin2}{2^2}+...+\dfrac{sinn}{n^2}\right|\le\left|sin1\right|+\left|\dfrac{sin2}{2^2}\right|+...+\left|\dfrac{sinn}{n^2}\right|\)
\(\Rightarrow\left|u_n\right|< \left|1\right|+\left|\dfrac{1}{2^2}\right|+\left|\dfrac{1}{3^2}\right|+...+\left|\dfrac{1}{n^2}\right|=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)
Lại có:
\(1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}=2-\dfrac{1}{n}< 2\)
\(\Rightarrow\left|u_n\right|< 2\Rightarrow u_n\) là dãy bị chặn
5 tháng 1
Ta có:
\(nu_{n+2}-\left(3n+1\right)u_{n+1}+2\left(n+1\right)u_n=3\)
\(\Leftrightarrow n\left(u_{n+2}-2u_{n+1}\right)-\left(n+1\right)\left(u_{n+1}-2u_n\right)=3\)
Đặt \(u_{n+1}-2u_n=v_n\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_2-2u_1=-2-2.\left(-1\right)=0\\nv_{n+1}-\left(n+1\right)v_n=3\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\dfrac{1}{n+1}v_{n+1}-\dfrac{1}{n}v_n=\dfrac{3}{n\left(n+1\right)}\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{2}v_2-v_1=\dfrac{3}{1.2}\)
\(\dfrac{1}{3}v_3-\dfrac{1}{2}v_2=\dfrac{3}{2.3}\)
\(\dfrac{1}{4}v_4-\dfrac{1}{3}v_3=\dfrac{3}{3.4}\)
\(...\)
\(\dfrac{1}{n}v_n-\dfrac{1}{n-1}v_{n-1}=\dfrac{3}{\left(n-1\right)n}\)
\(\dfrac{1}{n+1}v_{n+1}-\dfrac{1}{n}v_n=\dfrac{3}{n\left(n+1\right)}\)
Cộng theo vế, ta có:
\(\dfrac{1}{n+1}v_{n+1}-v_1=3\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(\Rightarrow v_{n+1}=3n\Leftrightarrow v_n=3\left(n-1\right)\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-2u_n=3\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}+3\left(n+1\right)=2\left(u_n+3n\right)\)
Đặt \(a_n=u_n+3n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=u_1+3=2\\a_{n+1}=2a_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a_n=2^n\)\(\Rightarrow u_n=2^n-3n\)\(,\forall n\in N\text{*}\)
HT
16 tháng 2 2021
Số xấu thế nhỉ?
\(u_n=v_n+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}\)
\(\Rightarrow v_{n+1}+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}=-\dfrac{1}{3+v_n+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}v_n}{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}+v_n}\end{matrix}\right.\)
\(v_n=\dfrac{1}{y_n}\Rightarrow\dfrac{1}{y_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}.\dfrac{1}{y_n}}{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1}{y_n}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{y_{n+1}}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2y_n\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1}{y_n}\right)}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\left(3+\sqrt{5}\right)y_n+2}\)
\(\Leftrightarrow y_{n+1}=\dfrac{\left(3+\sqrt{5}\right)y_n}{3-\sqrt{5}}+\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1=\dfrac{1}{v_1}=\dfrac{2}{5-\sqrt{5}}\\y_{n+1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}y_n+\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)
\(z_n=y_n+\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1=y_1+\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\\z_{n+1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}z_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow z_n:csn-co:\left\{{}\begin{matrix}z_1=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\\q=\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow z_{n+1}=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n\)
\(\Rightarrow y_{n+1}=z_{n+1}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
\(v_{n+1}=\dfrac{1}{y_{n+1}}=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}\)
\(u_{n+1}=v_{n+1}+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}\)
Xét:
\(u_{n+2}-u_{n+1}=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}+\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}-\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}-\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}\)
\(=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}-\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)}{.....}\)
\(=\dfrac{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n\left(1-\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)}{....}=\dfrac{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\left(-\dfrac{5+3\sqrt{5}}{2}\right)}{...}< 0\)
\(\Rightarrow\) dãy giảm
\(\Rightarrow u_1>u_2>....>u_n\)
\(\Rightarrow\lim\limits u_n=1\)
10 tháng 8 2022
Bn tham khảo đây nhé: https://diendantoanhoc.org/topic/140204-t%C3%A0i-li%E1%BB%87u-d%C3%A3y-s%E1%BB%91/
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 3 2021
Dễ dàng nhận thấy \(u_n\) là dãy dương
Ta sẽ chứng minh \(u_n< 2\) ; \(\forall n\)
Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (thỏa mãn)
Giả sử điều đó đúng với \(n=k\) hay \(u_k< 2\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)
Thật vậy, \(u_{k+1}=\sqrt{u_k+2}< \sqrt{2+2}=2\) (đpcm)
Do đó dãy bị chặn trên bởi 2
Lại có: \(u_{n+1}-u_u=\sqrt{u_n+2}-u_n=\dfrac{u_n+2-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}=\dfrac{\left(u_n+1\right)\left(2-u_n\right)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}>0\) (do \(u_n< 2\))
\(\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) dãy tăng
Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là k>0
Lấy giới hạn 2 vế giả thiết:
\(\lim\left(u_{n+1}\right)=\lim\left(\sqrt{u_n+2}\right)\Leftrightarrow k=\sqrt{k+2}\)
\(\Leftrightarrow k^2-k-2=0\Rightarrow k=2\)
Vậy \(\lim\left(u_n\right)=2\)