Cho a, b, c > 0 thỏa mãn (a + b)(a + c) = 8. Tìm GTLN của C = abc(a + b + c). giúp em với em cảm ơn nhiều ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{c}+b^2c=ab\left(a+b+c\right)+b^2c=ab\left(a+c\right)+b^2\left(a+c\right)=b\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(\dfrac{1}{c}+a^2c=ab\left(a+b+c\right)+a^2c=a\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{c}+b^2c\right)\left(\dfrac{1}{c}+a^2c\right)=ab\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)=c^2\left(a+b\right)^2ab\left(ab+bc+ac+c^2\right)\)\(=c^2\left(a+b\right)^2\left(a^2b^2+ab^2c+a^2bc+abc^2\right)\)\(=c^2\left(a+b\right)^2\left[a^2b^2+abc\left(a+b+c\right)\right]=c^2\left(a+b\right)^2\left(a^2b^2+1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2\left(a^2b^2+1\right)}=\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2+a^2b^2c^2}}=a+b\) (đpcm)
15 tháng 8 2019
( a + b ) ( a + c ) = 8 hay a2 + ab + ac + bc = 8
\(\Rightarrow\)a ( a + b + c ) + bc = 8
\(\sqrt{abc\left(a+b+c\right)}=\sqrt{a\left(a+b+c\right).bc}\le\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{2}=4\)
\(\Rightarrow abc\left(a+b+c\right)\le16\)
Vậy GTLN của A là 16
15 tháng 12 2021
Ta có \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)=8\)\(\Leftrightarrow a^2+ab+bc+ca=8\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)+bc=8\)
Mặt khác vì \(a,b,c>0\) nên ta có thể lấy căn bậc hai của C: \(C=abc\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{C}=\sqrt{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(=\sqrt{a\left(a+b+c\right).bc}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(a\left(a+b+c\right)\)và \(bc\), ta có:
\(\sqrt{C}=\sqrt{a\left(a+b+c\right).bc}\le\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{2}=\frac{8}{2}=4\)(vì \(a\left(a+b+c\right)+bc=8\left(cmt\right)\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{C}\le4\)\(\Leftrightarrow C\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a\left(a+b+c\right)=bc\)\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)-bc=0\)\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)+bc-2bc=0\)
\(\Leftrightarrow8-2bc=0\)\(\Leftrightarrow2bc=8\)\(\Leftrightarrow bc=4\)
Như vậy với \(a,b,c>0\) và \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)=8\)thì GTLN của C là 16 khi \(bc=4\)
Em lớp 9, nếu bài làm có gì sai thì mong chị thông cảm ạ.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 4 2023
Trước hết ta c/m bổ đề sau:
Với mọi số thực dương x;y ta luôn có:
\(x^4+y^4\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)
Thật vậy, BĐT đã cho tương đương:
\(x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng bổ đề trên ta có:
\(T\le\dfrac{a}{bc\left(b^2+c^2\right)+a}+\dfrac{b}{ac\left(a^2+c^2\right)+b}+\dfrac{c}{ab\left(a^2+b^2\right)+c}\)
\(\Rightarrow T\le\dfrac{a^2}{abc\left(b^2+c^2\right)+a^2}+\dfrac{b^2}{abc\left(a^2+c^2\right)+b^2}+\dfrac{c^2}{abc\left(a^2+b^2\right)+c^2}\)
\(\Rightarrow T\le\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
\(T_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2022
Chắc là \(P=\dfrac{1}{1+2x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+2z}\)
Do \(xyz=1\), đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{b}{a};\dfrac{c}{b};\dfrac{a}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{1+\dfrac{2b}{a}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{2c}{b}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{2a}{c}}=\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}\)
\(P=\dfrac{a^2}{a^2+2ab}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2022
Ủa sao giả thiết là a;b;c mà biểu thức lại là x;y;z vậy em?
24 tháng 8 2018
Vì a+b+c=0=>(a+b)=-c. Tương tự:(b+c)=-a;(a+c)=-b.
Ta có A=:\(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c^2}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)-a^2}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c+a\right)-b^2}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right).\left(-c\right)-c^2}+tươngtự\)
\(=\frac{a^2}{-ca+bc-c^2}\)+ tương tự
\(=\frac{a^2}{c\left(b-c-a\right)}+tươngtự\)
\(=\frac{a^2}{c\left(b-\left(c+a\right)\right)}\)+ tương tự nha
\(=\frac{a^2}{c\left(b-\left(-b\right)\right)}+tươngtự=\frac{a^2}{2bc}+tươngtự\)
Sau đó ta có :\(\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2bc}\)
=\(\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3}{2abc}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b\right)}{2abc}\)=\(\frac{0-0-3ab\left(-c\right)}{2abc}\)(do a+b+c=0)
=\(\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)Ok r bạn
Theo bất đẳng thức Cô - si :
\(x+y>2\sqrt{xy}\)
Ta có :
\(\frac{a^2}{\left(b+c\right)}\)\(+\frac{\left(b+c\right)}{4}\)\(=a\)
\(\frac{b^2}{\left(c+a\right)}\)\(+\frac{\left(a+c\right)}{4}\)\(=b\)
\(\frac{c^2}{\left(a+b\right)}\)\(+\frac{\left(a+b\right)}{4}\)\(=c\)
Cộng thoeo vế , ta được :
\(\frac{a^2}{\left(b+c\right)}\)\(+\frac{b^2}{\left(c+a\right)}\)\(+\frac{c}{\left(a+b\right)}\)\(+\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)\(=\left(a+b+c\right)\)
\(\frac{a^2}{\left(b+c\right)}\)\(+\frac{b^2}{\left(c+a\right)}\)\(+\frac{c^2}{\left(a+b\right)=}\)\(=a+b+c=4\)
Vậy GTNN là \(4\)