Cho a + 4b = 1. Chứng minh rằng a2 + 4b2 >= 1/5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
0
NN
2
5 tháng 8 2023
\(\left(a-1\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+1-2a\ge0\Rightarrow a^2+1\ge2a\left(1\right)\)
\(\left(2b-3\right)^2\ge0\Rightarrow4b^2+9-12b\ge0\Rightarrow4b^2+9\ge12b\left(2\right)\)
\(\left(c\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}\right)^2\ge0\Rightarrow3c^2+3-6c\ge0\Rightarrow3c^2+3\ge6c\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow a^2+1+4b^2+9+3c^2+3\ge2a+12b+6c\)
\(\Rightarrow a^2+4b^2+3c^2+1+9+3\ge2a+12b+6c\)
\(\Rightarrow a^2+4b^2+3c^2+13\ge2a+12b+6c\)
\(\Rightarrow a^2+4b^2+3c^2\ge2a+12b+6c-13\)
mà \(2a+12b+6c-13>2a+12b+6c-14\)
\(\Rightarrow a^2+4b^2+3c^2>2a+12b+6c-14\)
\(\Rightarrow dpcm\)
5 tháng 8 2023
⇔(a−1)2+(2b−3)2+3(c−1)2+1>0 (luôn đúng)
⇒⇒ BĐT ban đầu đúng
27 tháng 7 2019
\(a^2+b^2=\frac{9a^2}{9}+\frac{16b^2}{16}\ge\frac{\left(3a+4b\right)^2}{9+16}=\frac{5^2}{25}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{3a}{9}=\frac{4b}{16}=\frac{3a+4b}{9+16}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{5}\\b=\frac{4}{5}\end{cases}}\)
14 tháng 8 2023
1: 2a+2b=2(a+b)
2: 2a+4b+6c
=2*a+2*2b+2*3c
=2(a+2b+3c)
3: \(-7a-14ab-21b=-7\left(a+2ab+3b\right)\)
4: \(2ax-2ay+2a=2a\left(x-y+1\right)\)
5: \(=3a\cdot ax-3a\cdot2ay+3a\cdot4=3a\left(ax-2ay+4\right)\)
6: \(=2\cdot2ax-2\cdot ay-2\cdot1=2\cdot\left(2ax-ay-1\right)\)
7: =a^2-(2b)^2
=(a-2b)(a+2b)
8: =(5a)^2-1^2
=(5a-1)(5a+1)
9: =9(16a^2-9)
=9(4a-3)(4a+3)
DD
1
20 tháng 7 2015
9a2 + 4b2 = 13ab => (3a)2 + 2.3a.2b + (2b)2 = 25ab => (3a+2b)2 = 25ab => 3a + 2b = 5\(\sqrt{ab}\) (do 3a ; 2b > 0)
9a2 + 4b2 = 13ab => (3a)2 - 2.3a.2b + (2b)2 = ab => (3a- 2b)2 = ab => 3a - 2b = \(\sqrt{ab}\) (ví 3a > 2b > 0)
A = \(\frac{ab}{\left(3a-2b\right)\left(3a+2b\right)}=\frac{ab}{\sqrt{ab}.5\sqrt{ab}}=\frac{1}{5}\)
NN
3
PN
7 tháng 5 2016
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực \(\left(1^2;2^2\right)\) và \(\left(a^2;4b^2\right)\), ta có:
\(\left(1^2+2^2\right)\left(a^2+4b^2\right)\ge\left(a+4b\right)^2=1\) (do \(a+4b=1\))
\(\Leftrightarrow\) \(5\left(a^2+4b^2\right)\ge1\)
Kết luận: ...
7 tháng 5 2016
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki với 2 dãy số x;2y và 1;2
Ta có: \(\left(x^2+4y^2\right)\left(1^2+2^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2\)
\(<=>5\left(x^2+4y^2\right)\ge1^2=1\)
=> ĐPCM, dấu = xảy ra <=> \(\frac{x}{1}=\frac{2y}{2}<=>x=y\)
24 tháng 3 2017
Bài 1:
Ta có: (2a-2b)2 lớn hơn hặc bằng 0
<=> 4a2-8ab+4b2 lớn hơn hoặc bằng 0
<=> 5a2-a2-8ab+20b2-16b2 lớn hơn hoặc bằng 0
<=> 5a2+20b2 lớn hơn hoặc bằng a2+8ab+16b
<=> 5(a2+4b2) lớn hơn hoặc bằng (a+4b)2
<=> 5(a2+4b2) lớn hơn hoặc bằng 1 [ Thay (a+4b)2 =1]
24 tháng 3 2017
3)
\(a=b+1\Leftrightarrow a+1>b+1\Leftrightarrow a>b+1-1\\ \Leftrightarrow a>b\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+4b^2)(1+4)\geq (a+4b)^2$
$\Leftrightarrow 5(a^2+4b^2)\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2+4b^2\geq \frac{1}{5}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{1}=\frac{2b}{2}$
$\Leftrightarrow a=b$. Kết hợp với $a+4b=1\Rightarrow a=b=\frac{1}{5}$