\(\int\dfrac{dx}{\left(x^2+4x+3\right)^3}\)
Anh Lâm ơi cíu cíu :>
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 2 2021
Hệ số bất định:
\(\dfrac{x^2-3}{x\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{bx}{x^2+1}+\dfrac{cx}{x^2+2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 2 2019
1/ \(I=\int\limits^1_0\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}dx=\int\limits^1_0\dfrac{d\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}=ln\left|x^2+x+1\right||^1_0=ln3\)
2/ \(\int\limits^{\dfrac{1}{2}}_0\dfrac{5x}{\left(1-x^2\right)^3}dx=-\dfrac{5}{2}\int\limits^{\dfrac{1}{2}}_0\dfrac{d\left(1-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^3}=\dfrac{5}{4}\dfrac{1}{\left(1-x^2\right)^2}|^{\dfrac{1}{2}}_0=\dfrac{35}{36}\)
3/ \(\int\limits^1_0\dfrac{2x}{\left(x+1\right)^3}dx\Rightarrow\) đặt \(x+1=t\Rightarrow x=t-1\Rightarrow dx=dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=1\\x=1\Rightarrow t=2\end{matrix}\right.\)
\(I=\int\limits^2_1\dfrac{2\left(t-1\right)dt}{t^3}=\int\limits^2_1\left(\dfrac{2}{t^2}-\dfrac{2}{t^3}\right)dt=\left(\dfrac{-2}{t}+\dfrac{1}{t^2}\right)|^2_1=\dfrac{1}{4}\)
4/ \(\int\limits^1_0\dfrac{4x-2}{\left(x^2+1\right)\left(x+2\right)}dx\)
Kĩ thuật chung là tách và sử dụng hệ số bất định như sau:
\(\dfrac{4x-2}{\left(x^2+1\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{ax+b}{x^2+1}+\dfrac{c}{x+2}=\dfrac{\left(a+c\right)x^2+\left(2a+b\right)x+2b+c}{\left(x^2+1\right)\left(x+2\right)}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+c=0\\2a+b=4\\2b+c=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=0\\a=-c=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0\left(\dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{2}{x+2}\right)dx=\int\limits^1_0\dfrac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}-2\int\limits^1_0\dfrac{d\left(x+2\right)}{x+2}=ln\dfrac{8}{9}\)
5/ \(\int\limits^1_0\dfrac{x^2dx}{x^6-9}\Rightarrow\) đặt \(x^3=t\Rightarrow3x^2dx=dt\Rightarrow x^2dx=\dfrac{1}{3}dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=1\Rightarrow t=1\end{matrix}\right.\)
\(I=\dfrac{1}{3}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{t^2-9}=\dfrac{1}{18}\int\limits^1_0\left(\dfrac{1}{t-3}-\dfrac{1}{t+3}\right)dt=\dfrac{1}{18}ln\left|\dfrac{t-3}{t+3}\right||^1_0=-\dfrac{1}{18}ln2\)
6/ Tương tự câu 4, sử dụng hệ số bất định ta tách được:
\(\int\limits^2_1\dfrac{2x-1}{x^2\left(x+1\right)}dx=\int\limits^2_1\left(\dfrac{3x-1}{x^2}-\dfrac{3}{x+1}\right)dx=\int\limits^2_1\left(\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{3}{x+1}\right)dx\)
\(=\left(3ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+\dfrac{1}{x}\right)|^2_1=3ln\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{2}\)
DL
20 tháng 2 2021
Câu nào mình biết thì mình làm nha.
1) Đổi thành \(\dfrac{y^4}{4}+y^3-2y\) rồi thế số.KQ là \(\dfrac{-3}{4}\)
2) Biến đổi thành \(\dfrac{t^2}{2}+2\sqrt{t}+\dfrac{1}{t}\) và thế số.KQ là \(\dfrac{35}{4}\)
3) Biến đổi thành 2sinx + cos(2x)/2 và thế số.KQ là 1
18 tháng 1 2018
Biến đổi: ʃ\(\int\dfrac{1dx}{cosx\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(cosx-sinx\right)}=\int\dfrac{\sqrt{2}dx}{cos^2x\left(1-tanx\right)}=\int\dfrac{\sqrt{2}d\left(tanx\right)}{1-tanx}=-\sqrt{2}\ln trituyetdoi\left(1-tanx\right)\)
https://www.youtube.com/channel/UCzeAuHrGhk8hUszunoNtayw
Luyện Thi THPT Quốc Gia miễn phí 100%
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2019
a/ \(I=\int\limits^1_0\dfrac{1}{\left(x^2+3\right)\left(x^2+1\right)}dx=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\left(\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{x^2+3}\right)dx\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(arctanx-\dfrac{1}{\sqrt{3}}arctan\dfrac{x}{\sqrt{3}}\right)|^1_0=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi\sqrt{3}}{36}\)
b/ \(I=\int\dfrac{x^2-1}{x^4+1}dx=\int\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}dx\)
Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)dx=dt\) ; \(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\)
\(\Rightarrow I=\int\dfrac{dt}{t^2-2}=\int\dfrac{dt}{\left(t-\sqrt{2}\right)\left(t+\sqrt{2}\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\int\left(\dfrac{1}{t-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{t+\sqrt{2}}\right)dt\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}ln\left|\dfrac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}\right|+C=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}ln\left|\dfrac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}\right|+C\)
c/ \(I=\int\dfrac{dx}{x\left(x^3+1\right)}=\int\dfrac{x^2dx}{x^3\left(x^3+1\right)}\)
Đặt \(x^3+1=t\Rightarrow3x^2dx=dt\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{dt}{\left(t-1\right)t}=\dfrac{1}{3}\int\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\right)dt=\dfrac{1}{3}ln\left|\dfrac{t-1}{t}\right|+C\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}ln\left|\dfrac{x^3}{x^3+1}\right|+C\)
d/ \(I=\int\limits^1_0\dfrac{xdx}{x^4+x^2+1}\)
Đặt \(x^2=t\Rightarrow2xdx=dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=1\Rightarrow t=1\end{matrix}\right.\)
\(I=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{t^2+t+1}=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}=\dfrac{2}{3}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{\dfrac{4}{3}\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2+1}\)
Đặt \(t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}tanu\Rightarrow dt=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{du}{cos^2u}\); \(\left\{{}\begin{matrix}t=0\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{6}\\t=1\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{du}{cos^2u\left(tan^2u+1\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}du=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{18}\)
\(\dfrac{1}{\left(x^2+4x+3\right)^3}=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^3\left(x+3\right)^3}\)
Phân tích hệ số bất định:
\(=\dfrac{a_1}{x+1}+\dfrac{a_2}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{a_3}{\left(x+1\right)^3}+\dfrac{b_1}{x+3}+\dfrac{b_2}{\left(x+3\right)^2}+\dfrac{b_3}{\left(x+3\right)^3}\)
Cách phân tích thứ 2:
\(=\dfrac{a\left(x+2\right)}{x^2+4x+3}+\dfrac{b\left(x+2\right)}{\left(x^2+4x+3\right)^2}+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+3}\)
À mà cách thứ 2 hình như ko đúng, bậc ko đảm bảo
Bài này mẫu số hơi đặc biệt nên có thể ko cần máy móc như vậy:
\(\left(\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}\right)^3=\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+3}\right)^3\)
Khai triển nó ra có vẻ dễ thực hiện hơn
Kiên nhẫn đi :)
Trên thực tế, những bài kiểu này ko cần quan tâm, vì ko ai cho cả
Yah, em có mấy vấn đề thắc mắc đây ạ:
-Phân tích hệ số bất định là phải dựa vô mũ của biểu thức đó đúng ko ạ? Mũ 2 thì phân tích thành 2 biểu thức mẫu mũ 1 và mẫu mũ 2, mũ 3 thì phân tích thành 3 biểu thức mẫu mũ 1, mẫu mũ 2 và mẫu mũ 3. Em hiểu như thế có đk nhỉ?
-Sao anh lại phân tích cái mẫu ra thành [(x+1)(x+3)]^3 được ạ? Ko lẽ lại do kinh nghiệm :>
-Với cả nếu giờ cái mũ kia nó ko là mũ 3 nữa mà mũ 3, mũ 5,.. mũ n thì phân tích như nào ạ :>
Sương sương vầy đã ạ