Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm GTLN:
P = \(\dfrac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}+\dfrac{1}{\left(3y+1\right)\left(z+x\right)+y}+\dfrac{1}{\left(3z+1\right)\left(x+y\right)+z}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 12 2020
\(P\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+4}\right)}\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{4xy+4x+4}\right)}\)
\(P\le\sqrt{\dfrac{3}{4}\sum\left(\dfrac{1}{xy+x+1}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2022
\(\left(x^3+1\right)\left(y^3+1\right)\left(z^3+1\right)=\dfrac{81}{64}x^3y^3z^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{81}{64}x^2y^2z^2\)
\(\Leftrightarrow3xyz\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{81}{64}x^3y^3z^3\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}xyz=0\\\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\end{matrix}\right.\)
Nếu \(\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\)
Ta có:
\(x^2-x+1=\dfrac{3}{4}x^2+\left(\dfrac{x}{2}-1\right)^2\ge\dfrac{3}{4}x^2\)
Tương tự: \(y^2-y+1\ge\dfrac{3}{4}y^2\) ; \(z^2-z+1\ge\dfrac{3}{4}z^2\)
Do các vế của các BĐT trên đều không âm, nhân vế với vế ta được:
\(\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)\ge\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
Thế vào điều kiện \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=3xyz\) ko thỏa mãn (loại)
Vậy \(xyz=0\)
N
9 tháng 1 2020
We have:
\(A=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3xy+3zx+x+y+z}\le\frac{1}{3xy+3zx+3\sqrt[3]{xyz}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3xy+3zx+3}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3\left(xy+zx+1\right)}\)
Dat \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1\)
\(\Rightarrow A\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ca}+1\right)}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
KN
6 tháng 2 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x=3xy+3xz+\left(x+y+z\right)\ge3xy+3xz+3\sqrt[3]{xyz}\)\(=3xy+3xz+3\Rightarrow\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}\le\frac{1}{3\left(xy+xz+1\right)}\)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức dạng \(u^3+v^3\ge uv\left(u+v\right)\), ta được: \(\frac{1}{3\left(xy+xz+1\right)}=\frac{1}{3\left[x\left(\left(\sqrt[3]{y}\right)^3+\left(\sqrt[3]{z}\right)^3\right)+1\right]}\le\frac{1}{3\left[x\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+1\right]}\)\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{3\left[\sqrt[3]{x^2}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+\sqrt[3]{xyz}\right]}=\frac{\sqrt[3]{yz}}{3\left(\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}\right)}\)
Tương tự rồi cộng lại theo vế, ta được: \(P\le\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
2 tháng 2 2022
Ta có nhận xét sau:
\(\dfrac{x+2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{1}{x^2\left(y+z\right)}+\dfrac{2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{yz}{zx+xy}+\dfrac{2\left(yz\right)^2}{zx+xy}\)
Tương tự với các phân thức còn lại
Ta đặt:
\(\left\{{}\begin{matrix}a=xy\\b=yz\\c=zx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow abc=1\) và \(a,b,c>0\)
Biểu thức P trở thành:
\(P=\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}+2\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\)
Dễ thấy:
\(\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{3}{2}\) (Nesbit)
\(\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Do đó:
\(P\ge\dfrac{3}{2}+2.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
HN
26 tháng 8 2017
Đặt cái ban đầu là P
Ta có: \(xy+yz+zx=xyz\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
Ta lại có:
\(\dfrac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\dfrac{1+x}{64x}+\dfrac{1+y}{64y}\ge\dfrac{3}{16z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\dfrac{3}{16z}-\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{64x}-\dfrac{1}{64y}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{yz}{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\dfrac{3}{16x}-\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{64y}-\dfrac{1}{64z}\left(2\right)\\\dfrac{zx}{y^3\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\ge\dfrac{3}{16y}-\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{64z}-\dfrac{1}{64x}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(P\ge\dfrac{3}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{1}{32}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{3}{32}\)
\(=\dfrac{3}{16}-\dfrac{1}{32}-\dfrac{3}{32}=\dfrac{1}{16}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=3\)
thật vĩ đại Hung nguyen
\(P=\dfrac{1}{3x\left(y+z\right)+x+y+z}+\dfrac{1}{3y\left(z+x\right)+x+y+z}+\dfrac{1}{3z\left(x+y\right)+x+y+z}\)
\(P\le\dfrac{1}{3x\left(y+z\right)+3\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{1}{3y\left(z+x\right)+3\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{1}{3z\left(x+y\right)+3\sqrt[3]{xyz}}\)
\(P\le\dfrac{1}{3x\left(y+z\right)+3}+\dfrac{1}{3y\left(z+x\right)+3}+\dfrac{1}{3z\left(x+y\right)+3}\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a^3\left(b^3+c^3\right)+1}+\dfrac{1}{b^3\left(c^3+a^3\right)+1}+\dfrac{1}{c^3\left(a^3+b^3\right)+1}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a^3bc\left(b+c\right)+1}+\dfrac{1}{b^3ac\left(a+c\right)+1}+\dfrac{1}{c^3ab\left(a+b\right)+1}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{bc}{a\left(b+c\right)+bc}+\dfrac{ac}{b\left(a+c\right)+ac}+\dfrac{ab}{c\left(a+b\right)+ab}\right)=\dfrac{1}{3}\)
\(P_{max}=\dfrac{1}{3}\) khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)