Question

[Thảo Vi]

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(3;-4). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông tại C và có góc B bằng 60^o.

2) Cho tam giác ABC có góc nhọn B, AD và CE là hai đường cao.

Biết rằng S_ABC = 9S_BDE, DE=2\(\sqrt{2}\) . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

1.

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;-6\right)\Rightarrow AB=2\sqrt{10}\) \(\Rightarrow BC=AB.cosB=\sqrt{10}\)

Gọi \(C\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(x-1;y-2\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(x-3;y+4\right)\end{matrix}\right.\)

Tam giác ABC vuông tại C và có \(BC=\sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\\BC^2=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x-3\right)+\left(y-2\right)\left(y+4\right)=0\\\left(x-3\right)^2+\left(y+4\right)^2=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-4x+2y-5=0\\x^2+y^2-6x+8y+15=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y-10=0\\x^2+y^2-6x+8y+15=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3y+10\right)^2+y^2-6\left(3y+10\right)+8y+15=0\)

\(\Leftrightarrow2y^2+10y+11=0\)

\(\Leftrightarrow y=...\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

2.

Kẻ \(EF\perp BC\)

\(S_{ABC}=9S_{BDE}\Rightarrow AD.BC=9EF.BD\Rightarrow\dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BC}{9BD}\)

Talet: \(\dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{BC}{9BD}\Rightarrow BC=9BF\)

Hệ thức lượng: \(BE^2=BF.BC=9BF^2\Rightarrow BE=3BF\)

\(\Rightarrow cosB=\dfrac{BF}{BE}=\dfrac{1}{3}\)

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC và \(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp BDE

\(sinB=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\Rightarrow r=\dfrac{DE}{2sinB}=\dfrac{3}{2}\) (định lý sin tam giác BDE)

Dễ dàng chứng minh 2 tam giác ABC và BDE đồng dạng (chung góc B và \(\widehat{A}=\widehat{BDE}\) vì cùng bù \(\widehat{CDE}\))

Mà \(S_{ABC}=9S_{BDE}\Rightarrow\) 2 tam giác đồng dạng tỉ số \(k=\sqrt{9}=3\)

\(\Rightarrow R=3r=\dfrac{9}{2}\)