cmr: \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\)\(\ge\)2, \(\forall a\inℝ\)
MN giúp e với ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 7 2020
Bài 1:
\(A=\sqrt{8}-2\sqrt{2}+\sqrt{20}-2\sqrt{5}-2=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}-2=-2\)\(B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
TN
27 tháng 4 2017
Theo AM-GM ta có: \(VT=\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}\)
\(=\frac{a}{b}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{c}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{c}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}\)
\(\ge6\sqrt[6]{\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{c}}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{c}}\cdot\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}\cdot\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}\cdot\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{c}{a}}}\)
\(=6\sqrt[6]{\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{27}\cdot\sqrt{\frac{b^2}{c^2}}\cdot\sqrt[3]{\frac{c^3}{a^3}}}\)
\(=6\sqrt[6]{\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{108}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=6\sqrt[6]{\frac{1}{108}}=\frac{6}{\sqrt[6]{108}}>\frac{5}{2}\)
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
27 tháng 6 2020
a) Ta có: \(P=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\frac{\sqrt{a}}{a-1}\right):\left(\frac{2}{a}-\frac{2-a}{a\sqrt{a}+a}\right)\)
\(=\left(\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\right):\left(\frac{2\left(\sqrt{a}+1\right)}{a\left(\sqrt{a}+1\right)}-\frac{2-a}{a\left(\sqrt{a}+1\right)}\right)\)
\(=\frac{a+\sqrt{a}+\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}:\frac{2\sqrt{a}+2-2+a}{a\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(=\frac{a+2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\cdot\frac{a\left(\sqrt{a}+1\right)}{a+2\sqrt{a}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a}-1}\)
b)
ĐKXĐ: \(a\notin\left\{1;0\right\}\)
Để P-2 là số dương thì P-2>0
⇔\(\frac{a}{\sqrt{a}-1}-2>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\sqrt{a}-1}-\frac{2\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-2\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}>0\)
mà \(a-2\sqrt{a}+2=\left(\sqrt{a}-1\right)^2+1>0\forall a\)
nên \(\sqrt{a}-1>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}>1\)
\(\Leftrightarrow a>1\)(tm)
Vậy: Khi a>1 thì P-2 là số dương
27 tháng 6 2020
A=\((\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)+\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}):\left(\frac{2\left(\sqrt{a}+1\right)-\left(2-a\right)}{a\left(\sqrt{a}+1\right)}\right)\)
\(A=\left(\frac{a+\sqrt{a}+\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\left(\frac{2\sqrt{a}+2-2+a}{a\left(\sqrt{a}+1\right)}\right)\)
\(A=\frac{a+2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{a\left(\sqrt{a}+1\right)}{2\sqrt{a}-a}\)
\(A=\frac{a}{\sqrt{a}-1}\)
TN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 8 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm:
\(a^2+2=(a^2+1)+1\geq 2\sqrt{(a^2+1).1}=2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\geq \frac{2\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a^2+1=1\Leftrightarrow a=0\)
TN
15 tháng 1 2017
Ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\)
\(\ge\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Tương tự ta có:\(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{bc+c}{2};\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{ca+a}{2}\)
Cộng theo vế ta có: \(VT\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}=6-\frac{3+ab+bc+ca}{2}\)
Mà theo BĐT AM-GM: \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Suy ra \(VT\ge6-3=3\)(ĐPCM)
DT
1
DT
3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 10 2020
1.
Đặt \(\sqrt[12]{a}=x\ge0\)
\(\Rightarrow VT=2^x+2^{x^3}\ge2\sqrt{2^{x+x^3}}\ge2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\) hay \(a=0\)
2.
\(y=2^{x-1}+2^{3-x}\ge2\sqrt{2^{x-1+3-x}}=4\)
\(y_{min}=4\) khi \(x-1=3-x\Leftrightarrow x=2\)
ta có
\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a^2+1+1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\)
( theo bất đẳng thức cauchy)
dấu bằng xảy ra khi \(\sqrt{a^2+1}=1\Leftrightarrow a=0\)