Cho a > 0. Chứng minh:
\(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
2
23 tháng 6 2017
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{a.\dfrac{1}{a}}=2\sqrt{1}=2\)
Dấu " = " khi a = 1
Vậy...
KN
2
18 tháng 6 2017
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{a.\dfrac{1}{a}}=2\sqrt{1}=2\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=1\)
\(\Rightarrowđpcm\)
NT
3
6 tháng 4 2017
Giả sử \(a\ge b\Rightarrow a=b+m\left(m\ge0\right)\)
Ta có :
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\) \(=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1\) \(+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}\)
\(=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Dấu \("="\) chỉ xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}m=0\\a=b\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) \(\rightarrowđpcm\)
~ Chúc bn học tốt ~
DT
6 tháng 4 2017
Ta có : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}}\) ( theo bất đẳng thức Cô-si )
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
AT
15 tháng 8 2018
a/ Xét hiệu: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (đpcm)
''='' xảy ra khi a = b
b/ Sửa đề chút nhé: CMR:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\)
Áp dụng bđt AM-GM có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}}=2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\);
Tương tự ta có:
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}}\); \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ac}}\)
Cộng 2 vế ba bđt trên ta được:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\left(đpcm\right)\)
''='' xảy ra khi a = b = c
3 tháng 4 2017
Giải:
Không giảm tính tổng quát
Giả sử \(a\ge b\Rightarrow a=b+m\left(m\ge0\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\)
\(=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}\)
\(=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\a=b\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) (Đpcm)
9 tháng 9 2017
Ta có \(\dfrac{1}{\text{1+a}}\)+\(\dfrac{1}{1+b}\)+\(\dfrac{1}{1+c}\)≥2
→\(\dfrac{1}{\text{1+a}}\)≥{1-\(\dfrac{1}{1+b}\)}+{1-\(\dfrac{1}{1+c}\)}
↔\(\dfrac{1}{\text{1+a}}\)≥\(\dfrac{b}{1+b}\)+\(\dfrac{c}{1+c}\)
≥2.√(bc)/{(1+b)(1+c)}(theo cosi)
Hai bất đẳng thức tương tự rồi nhân vế với vế
1/{(1+a)(1+b)(1+c)≥8.abc/{(1+a)(1+b)(1...
↔abc≤1/8
Tick nha
19 tháng 7 2017
bài này chỉ ở dạng trung trung thôi, có 2 cái link 1 tổng quát 2 hiệu quát ko biết giúp j dc ko
-tổng quát: Học tại nhà - Toán - Toán hay hay
-hiệu quát: Học tại nhà - Toán - (Bài Toán Thách Thức )
BĐT dạng k hay n là t ngu lắm ko giúp dc :v
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số a > 0 ta có
\(a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{a.\dfrac{1}{a}}=2\forall a>0\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ a2 = 1 ⇔ \(a=1\)