Chứng minh (1-a)(1-b)(1-c)\(\ge\)8abc. Với mọi a,b,c>0 và a+b+c=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BH
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 2 2020
\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
\(VT\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{ab}=8abc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 2 2020
Lời giải:
Vì $A+B+C=1$ ta có:
$(1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)$
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
$B+C\geq 2\sqrt{BC}; C+A\geq 2\sqrt{CA}; A+B\geq 2\sqrt{AB}$
$\Rightarrow (1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)\geq 2\sqrt{BC}.2\sqrt{CA}.2\sqrt{AB}$
hay $(1-A)(1-B)(1-C)\geq 8ABC$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $A=B=C=\frac{1}{3}$
VK
4
3 tháng 5 2016
Mình trình bày hơi tắt 1 chút nhé 
Vì \(a+b+c=1\) nên \(\begin{cases}a+b=1-a\\a+c=1-b\\b+c=1-c\end{cases}\)
Ta có:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}=8abc\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\) (đpcm)
VK
2
VD
3 tháng 5 2016
\(BĐT\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dễ thấy BĐt trên đúng theo Cô si:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Thiết lập cac BĐT tương tự và nhân lại ta có đpcm.
PT
2
14 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
\(\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ac}\)
\(=8abc=VP\)
Khi \(a=b=c\)
18 tháng 12 2017
BĐT\(\Leftrightarrow\)(a+b)+(b+c)+(c+a)\(\ge\)8abc
TA có BDT cô si
a+b\(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\)(a+b)(b+c)(a+c)\(\ge\)\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}\)
Vậy (1-a)(1-b)(1-c)\(\ge\)8abc
8 tháng 1 2021
hơn 1 năm rồi không ai làm :'(
a) Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)(2)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)(3)
Nhân (1), (2), (3) theo vế
=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8\left|abc\right|=8abc\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
25 tháng 3 2018
1) xét hiệu
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\ge0\)
<=> \(\dfrac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
=> b(a+b)+a(a+b)-4ab ≥ 0
<=> ab+b2+a2+ab-4ab ≥ 0
<=> a2 -2ab+b2 ≥ 0
<=> (a-b)2 ≥ 0 (luôn đúng )
=> đpcm
25 tháng 3 2018
2)Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
TT\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\ge64a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}.2\sqrt{ab}=8abc\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)