Question

[Trần Quốc Tuấn hi]

cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của cạnh AB, P là giao điểm của ai tia CM và DA

a) chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là hình thang vuông

b) Chứng minh 2S_BCDP=3S_APBC

c) gọi N là trung điểm của BC, Q là giao điểm của DN và CM.

 Chứng minh AQ=QB.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a:

Ta có: AD//BC

P\(\in\)AD

Do đó: AP//BC

Ta có:BA\(\perp\)AD

P\(\in\)AD

Do đó: BA\(\perp\)PD tại A

Xét ΔMAP vuông tại A và ΔMBC vuông tại B có

MA=MB

\(\widehat{AMP}=\widehat{BMC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMAP=ΔMBC

=>AP=BC

Xét tứ giác APBC có

AP//BC

AP=BC

Do đó: APBC là hình bình hành

Xét tứ giác BCDP có BC//DP

nên BCDP là hình thang

Hình thang BCDP có BC\(\perp\)CD

nên BCDP là hình thang vuông

b: Vì BCDP là hình thang vuông

nên \(S_{BCDP}=\dfrac{1}{2}\left(BC+DP\right)\cdot DC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\left(BC+DA+AP\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\cdot\left(DC+DC+BC\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\cdot\left(2DC+DC\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3DC^2=\dfrac{3}{2}\cdot DC^2\)

Vì AP=BC

mà BC=AD

nên AP=AD

=>A là trung điểm của PD

\(S_{BPAC}=S_{PAB}+S_{ABC}\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot AP\cdot AB+\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AB+\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AB=BC\cdot AB=AB^2=DC^2\)

=>\(S_{BCDP}=\dfrac{3}{2}\cdot S_{BPAC}\)

=>\(2\cdot S_{BCDP}=3\cdot S_{BPAC}\)